הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/20.2.11"

גרסה מ־16:55, 20 בפברואר 2011

אינטגרבליות

מטרה: לחשב שטח (דו-מימדי במקרה שלנו, כי אינפי מדבר על $\mathbb R$ ).

(1)

נציג שתי שיטות עיקריות לחישוב שטחים:

אינטגרבליות לפי דרבו
אינטגרבליות לפי רימן

היום נדבר על אינטגרבליות לפי דרבו.

אינטגרבליות לפי דרבו

תהי T חלוקה. נסמן $M_i=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)$ ו- $m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i)} f(x)$ . נגדיר $\overline S(T)=\sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i$ וכן $\underline S(T)=\sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i$ .

$\overline I=\inf\{\overline S(T):\$ חלוקה $T\}$

$\underline I=\sup\{\underline S(T):\$ חלוקה $T\}$

$\overline I=\underline I$

דוגמה 1: הוכח ע"פ הגרדת האינטגרל שהפונקציה $g(x)=x$ מתחילה בקטע $[0,1]$ . נמצא ע"פ ההגדרה את ערך האינטגרל.

פתרון:

דרך 1: חישוב ע"י משולש.

דרך 2: נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0. לדוגמה $\Delta x\le\frac1n$ (דרוש כי רוצים שסכום הדרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון).

במקרה זה נחלק את הקטע לפי הנקודות $0,\tfrac1n,\tfrac2n,\dots,1$ . ז"א $\overline I=\lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac1n}_{(1)}\underbrace{\sum_{i=1}^n \frac i n}_{(2)}$ .

רוחב המלבן
אורך המלבן

(נשים לב כי $f(x)=x$ פונקציה עולה ולכן אם לוקחים נקוד קצה ימנית אז מקבלים סכום עליון)

באופן דומה נמצא סכום דרבו תחתון:

$\underline I=\lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{i=1}^n \frac i n$

...

אם נראה כי $\overline I=\underline I$ נקבל כי f אינטגרבילית לפי דרבו (ואפילו נקבל את השטח).

עבור $\overline I$ נרשום: $\overline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i=$ ...

באופן דומה $\underline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i=\lim_{n\to\infty}\frac{(n-1)n}{2}=\frac12$

מסכנה: f אינטגרבילית לפי דרבו והשטח מתחת לגרף הוא $\tfrac12$ . הערה: נשים לב שלמעשה היינו צריכים להראות שכל חלוקה שואפת

ז"א בשביל האינטגרביליות בנוסף היינו צריכים להראות שלכל חלוקה $\Delta x\to0\implies\overline .I=\underline I$

יש טעות, היא תתוקן בהמשך.

דוגמה 2: חשב את השטח שמתחת לעקום $y=9-x^2$ ומעל לקטע $[0,3]$ כאשר $x_k^\star$ פעם אחת נקוד קצה ימנית ופעם אחת נקודת קצה שמאלית. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית.

פתרון: תזכורת: חייבים $x_k^\star$ בכל תת קטע כי מחפשים פעם ראשונה סופרימום ופעם שנייה אינפימום (אנחנו לא יודעים מפורשות איפה היא נמצאת).

נחלק את הקטע $[0,3]$ , נבחר חלוקה המקיימת $\Delta x\to0$ . (לדוגמה: בחרנו חלוקה $\Delta x=\frac3n$ .

כאשר $k\in\{0,1,2,\dots\}$ מתקיים $\Delta x_k=\frac{3k}{n}$ ). נשים לב שבקטע f יורדת (נקודה ימנית תתן אינפימום ונקודה שמאלית תתן סופרימום).

$\underline S=\lim_{\Delta x\to0}\sum_{k=1}^n \Delta x\cdot f(\underbrace{\Delta x\cdot k}_{=x_k^\star})=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-(\Delta x\cdot k)^2)=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-\Delta x^2\cdot k^2)$

ד $|f|$ וגמה 3: הוכח או הפרך: אם אינטגרבילית ב- $[a,b]$ אז f אינטגרבילית ב- $[a,b]$ .

פתרון: הפרכה. נבחר פונקציה מהצורה $f(x)=\begin{cases}1\quad x\in\mathbb Q\\-1\quad x\not\in\mathbb Q\end{cases}$ . ברור כי $|f|$ אינטגרבילית (כי היא קבועה). לעומת זאת, אם נבחר חלוקה של מספרים אי רציונלים נחלק סכום שלילי, ואם נבחר חלוקה של מספרים רציונלים נקבל סכום חיובי.

הערה: זוהי דוגמה טובה שמראה שיש להראות שכל חלוקה שואפת לאפס.

הערה: נראה בהמשך כי אינטגרביליות לפי רימן שקולה לאינטגרביליות לפי דרבו (שם אפשרי לבחור כל נקודה בתת קטע). הפתרון במקרה זה יפה יותר.

דוגמה 4: הוכח או הפרך: אם f חסומה ב- $[a,b]$ ולכל $[c,d]\subseteq[a,b]$ f אינטגרבילית ב- $[c,d]$ אז f אינטגרבילית ב- $[a,b]$ .

הוכחה: רוצים להראות כי לכל $\varepsilon>0$ יש חלוקה $T_\varepsilon$ המקיימת ב- $[a,b]$ ש- $\overline S(T_c)-\underline S(T_c)<\varepsilon$ . נתון כי f אינטגרבילית ב- $[c,d]$ ולכן יש חלוקה $T_{\varepsilon'}$ שם מתקיים $\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})<\varepsilon$ . נשים לב כי $T_{\varepsilon'}\cup\{a\}=T_\varepsilon$ . נסמן $T_{\varepsilon'}=c,x_1,x_2,\dots,\underbrace{x_n}_b$ ו- $T_\varepsilon=a,x_1,x_2,\dots,\underbrace{x_n}_b$ .

נבנה סכום דרבו עליון ותחתון. $\overline S(T_\varepsilon)=\sup_{x\in[a,c]} f(x)\cdot (c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})$ ובאופן דומה: $\underline S(T_\varepsilon)=\inf_{x\in[a,c]} f(x)\cdot (c-a)+\underline S(T_{\varepsilon'})$ .

... $\blacksquare$

דוגמה 5: חשב עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \fracnn לא מוכרת): \lim_{n\to\infty}\frac1n\left(e^{\frac1n}+e^{\frac2n}+\dots+e^{\fracnn}\right)

פתרון: נשים לב שמוגדר למעשה סכום של מלבנים. נסתכל על הפונקציה $e^x$ בקטע $[0,1]$ . $e^x$ פונקציה אינטגרבילית. נרשום את הגבול באופן הבא: $\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}$ . זוהי בדיוק ההגדרה של אינטגרל מסויים ולכן $\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}=\int\limits_0^1 e^xdx$ .

לפי המשפט היסודי זה שווה ל- $[e^x]_0^1=e^1-e^0=e-1$ (הפונקציה הקדומה של $e^x$ היא $e^x$ ).

משפט: תנאי הכרחי שפונקציה $f(x)$ תהיה אינטגרבילית ב- $[a,b]$ הוא ש-f חסומה בקטע.

משפט:' אם f חסומה בקטע $[a,b]$ ורציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות אי רציפות אז f אינטגרבילית ב- $[a,b]$ .

דוגמה 6: קבע מי מהפונקציות הבאות אינטגרבילית.

$f(x)=\begin{cases}\tan(x)\quad 0\le x\le\tfrac\pi2\\1\quad x=\tfrac\pi2\end{cases}$ בקטע $\left[0,\frac\pi2\right]$

פתרון: נראה כי f לא חסומה. $\lim_{k\to\frac\pi2^-}\tan(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\infty$ . לפיכך f לא חסומה ולכן לא אינטגרבילית. $\blacksquare$

$f(x)=\begin{cases}\sin\left(\frac1x\right)\quad x\ne0\\0\quad x=0\end{cases}$ בקטע $[-1,1]$ .

פתרון: נשים לב כי $-1\le\sin\left(\frac1x\right)\le1$ . בנוסף יש לנו נקודת אי-רציפות יחידה ב- $x=0$ ולכן f אינטגרבילית. $\blacksquare$

@@ שורה 85: / שורה 85: @@
 {{משל}}
-'''דוגמה 5:''' חשב <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\left(e^\frac1n+e^\frac2n+\dots+e^\fracnn\right)</math>
+'''דוגמה 5:''' חשב <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\left(e^{\frac1n}+e^{\frac2n}+\dots+e^{\fracnn}\right)</math>
+'''פתרון:''' נשים לב שמוגדר למעשה סכום של מלבנים. נסתכל על הפונקציה <math>e^x</math> בקטע <math>[0,1]</math>. <math>e^x</math> פונקציה אינטגרבילית. נרשום את הגבול באופן הבא:
+<math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}</math>. זוהי בדיוק ההגדרה של אינטגרל מסויים ולכן <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}=\int\limits_0^1 e^xdx</math>.
+לפי המשפט היסודי זה שווה ל-<math>[e^x]_0^1=e^1-e^0=e-1</math> (הפונקציה הקדומה של <math>e^x</math> היא <math>e^x</math>).
+'''משפט:''' תנאי הכרחי שפונקציה <math>f(x)</math> תהיה אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> הוא ש-f חסומה בקטע.
+''משפט:''' אם f חסומה בקטע <math>[a,b]</math> ורציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות אי רציפות אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.
+'''דוגמה 6:''' קבע מי מהפונקציות הבאות אינטגרבילית.
+# <math>f(x)=\begin{cases}\tan(x)\quad 0\le x\le\tfrac\pi2\\1\quad x=\tfrac\pi2\end{cases}</math> בקטע <math>\left[0,\frac\pi2\right]</math>
+:# '''פתרון:''' נראה כי f לא חסומה. <math>\lim_{k\to\frac\pi2^-}\tan(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\infty</math>. לפיכך f לא חסומה ולכן לא אינטגרבילית. {{משל}}
+#<math>f(x)=\begin{cases}\sin\left(\frac1x\right)\quad x\ne0\\0\quad x=0\end{cases}</math> בקטע <math>[-1,1]</math>.
+:# '''פתרון:''' נשים לב כי<math>-1\le\sin\left(\frac1x\right)\le1</math>. בנוסף יש לנו נקודת אי-רציפות יחידה ב-<math>x=0</math> ולכן f אינטגרבילית. {{משל}}

הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/20.2.11"

גרסה מ־16:55, 20 בפברואר 2011

אינטגרבליות

אינטגרבליות לפי דרבו

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים