גרסה מ־16:46, 21 במאי 2011

את דוגמה 6 לא סיימנו בתרגול הקודם ולכן השלמנו אותה ב-8.5.11. חלק זה מופיע בסיכום התרגול הקודם ולא בדף הנוכחי.

תוכן עניינים

1 אינטגרל

אינטגרל

דוגמה 1

קבעו האם $\int\limits_0^\infty\frac{\mathrm dx}\sqrt{x+x^2}$ מתכנס או מתבדר.

פתרון

נחלק לשני אינטגרלים $\int\limits_0^\infty=\int\limits_0^1+\int\limits_1^\infty$ . עבור $x\in(0,1]$ מתקיים $x+x^2\ge x$ , לכן $\frac1\sqrt{x+x^2}\le\frac1\sqrt x$ . ברור ש- $\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}\sqrt x$ מתכנס ולכן, לפי מבחן ההשוואה, $\int\limits_0^1$ מתכנס.

עבור $x\in[1,\infty)$ מתקיים $\frac1\sqrt{x^3}\ge\frac1\sqrt{x+x^2}$ . נל $\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}\sqrt{x^2}$ ולכן גם כן מתכנס לפי מבחן ההשוואה. לסיכום האינטגרל מתכנס. $\blacksquare$

נושא שני:
התכנסות של פונקציות

לדוגמה נתבונן בסדרת הפונקציות $f_n(x)=\frac1{x^n}$ . קל לראות שאת סדרת הפונקציות ניתן לרשום כ- $\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty=\left\{\frac1{x^n}\right\}_{n=1}^\infty$ . לדגמה, נבחר $x>1$ . קל לראות ש- $\lim_{n\to\infty}\frac1{x^n}0$ , ולכן $f(x)=0$ היא פונקצית הגבול.

הגדרות

סדרה $\{f_n\}$ של פונקציות היא התאמה שבה לכל n טבעי מותאמת פונקציה $f_n$ .
אם לכל $x_0$ בקטע הסדרה $\{f_n(x_0)\}$ מתכנסת, אז נאמר כי סדרת הפונקציות "מתכנסת נקודתית" ונסמן $f(x):=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ .

דוגמה 1

קבעו התכנסות של $f_n(x)=x^n$ ב- $[0,1]$ .

פתרון

נחלק לשני מקרים:

אם $x=1$ אז $f(1)=\lim_{n\to\infty}1^n=1$ .
אם $x\in[0,1)$ אז $f(x)=0$ .

$\blacksquare$

דוגמה 2

בדקו התכנסות של $f_n(x)=\frac1{1+n^2x^2}$ ב- $\mathbb R$ .

פתרון

נחלק למקרים:

$x=0\implies f(x)=\frac1{1+0}=1$
$x\ne0\implies f(x)=\frac1{1+\infty}=0$

$\blacksquare$

הגדרה: תהינה $\{f_n\}$ סדרת פונקציות בקטע I. נאמר כי $f_n$ מתכנסת במ"ש אם לכל $\varepsilon>0$ קיים $n_0\in\mathbb N$ כך שלכל $n>n_0$ ולכל $x\in I$ מתקיים $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$ .

דוגמה 3

נתונה $f_n(x)=\left(1+\frac1n\right)x^2$ . קבע האם f מתכנסת נקודתית/במ"ש ב- $(0,1)$ .

פתרון

במקרה שלנו קל לראות ש- $f_n(x)$ מתכנסת נקודתית ל- $x^2$ כי $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)x^2=\lim_{n\to\infty}x^2+\lim_{n\to\infty}\frac{x^2}{n^2}=x^2+0=x^2$ . מסקנה: $f(x)=x^2$ .

כדי לבדוק התכנסות במ"ש נשתמש בהגדרה. צריך להתקיים שלכל $\varepsilon>0$ קיים $n_0\in\mathbb N$ כך שלכל $n>n_0$ ולכל $x\in I$ מתקיים $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$ . נציב: $|f_n(x)-f(x)|=\left|\left(1+\frac1n\right)x^2-x^2\right|=\frac{x^2}n\le\frac1n<\varepsilon$ . לכן מספיק לבחור $n_0\ge\frac1\varepsilon$ ונקבל שיש גם התכנסות במ"ש. $\blacksquare$

דוגמה 4

הראה כי $f_n(x)=x^n$ לא מתכנסת במ"ש ב- $(0,1)$ .

פתרון

מצאנו בדוגמה 1 ש- $f(x)=0$ . נשים לב כי $\forall n\in\mathbb N:\ \lim_{x\to1}x^n=1$ ז"א $\forall n\in\mathbb N:\ \exists x_0:\ \frac12<x_0^n<\frac32$ (לפי הגדרת הגבול). לכן $\exists\varepsilon>0:\ \forall n_0\in\mathbb N:\ \exists n>n_0:\ \exists x_0:\ |f_n(x_0)-f(x_0)|=|x_0^n-0|>\frac12>\varepsilon$ ולכן ההתכנסות לא במ"ש. $\blacksquare$

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
+{{הערה|את דוגמה 6 לא סיימנו בתרגול הקודם ולכן השלמנו אותה ב-8.5.11. [[משתמש:אור שחף/133 - תרגול/8.5.11#continue|חלק זה]] מופיע בסיכום התרגול הקודם ולא בדף הנוכחי.}}
 =אינטגרל=
 ==דוגמה 1==
-ראינו בשיעור שעבר כי <math>\int\limits_0^1\frac{\cos\left(\frac1x\right)}x\mathrm dx</math> מתכנס לפי דיריכלה. נראה שלא מתכנס בהחלט.
+קבעו האם
+<math>\int\limits_0^\infty\frac{\mathrm dx}\sqrt{x+x^2}</math> מתכנס או מתבדר.
 ===פתרון===
-ברור כי <math>-1\le\cos\left(\frac1x\right)\le1</math> ולכן <math>\cos^2\left(\frac1x\right)\le\left|\cos\left(\frac1x\right)\right|</math>. מספיק להסתכל על <math>\int\limits_0^1\frac{\cos\left(\frac1x\right)}x\mathrm dx=\underline{\frac12\int\limits_0^1\frac{\cos\left(\frac2x\right)}x\mathrm dx}_I+\underline{\frac12\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}x}_{II}</math>. ברור שאינטגרל II מתבדר, ולכן אם אינטגרל I מתכנס אז סיימנו את ההוכחה: נציב <math>y=\frahttp://www.math-wiki.com/skins/common/images/button_math.pngc2x</math> ואז <math>\mathrm dx=\frac{-2}{y^2}\mathrm dy</math> נקבל <math>\int\limits_{-\infty}^2 \frac{\cos(y)}{2/y}\frac{-2\mathrm dy}{y^2}=\int\limits_2^\infty \frac{\cos(y)}y\mathrm dy</math> שמתכנס לפי דיריכלה. {{משל}}
+נחלק לשני אינטגרלים <math>\int\limits_0^\infty=\int\limits_0^1+\int\limits_1^\infty</math>. עבור <math>x\in(0,1]</math> מתקיים <math>x+x^2\ge x</math>, לכן <math>\frac1\sqrt{x+x^2}\le\frac1\sqrt x</math>. ברור ש-<math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}\sqrt x</math> מתכנס ולכן, לפי מבחן ההשוואה, <math>\int\limits_0^1</math> מתכנס.
-==דוגמה 2==
+עבור <math>x\in[1,\infty)</math> מתקיים <math>\frac1\sqrt{x^3}\ge\frac1\sqrt{x+x^2}</math>. נל <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}\sqrt{x^2}</math> ולכן גם כן מתכנס לפי מבחן ההשוואה. לסיכום האינטגרל מתכנס. {{משל}}
-קבעו האם <math>\int\limits_0^\infty\frac{\mathrm dx}\sqrt{x+x^2}</math> מתכנס או מתבדר.
-===פתרון===
-נחלק לשני אינטגרלים <math>\int\limits_0^\infty=\int\limits_0^1+\int\limits_1^\infty</math> עבור <math>x\in(0,1]</math> <math>x+x^2\ge x</math>, לכן <math>\frac1\sqrt{x+x^2}\le\frac1\sqrt x</math>. ברור ש-<math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}\sqrt x</math> מתכנס ולכן לפי מבחן ההשוואה <math>\int\limits_0^1</math> מתכנס.
-עבור <math>x\in[1,\infty)</math> <math>\frac1\sqrt{x^3}\ge\frac1\sqrt{x+x^2}</math> שוב נסכל על <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}\sqrt{x^2}</math> ולכן גם כן מתכנס לפי מבחן ההשוואה. לסיכום האינטגרל מתכנס. {{משל}}
 {{כותרת נושא|התכנסות של פונקציות|נושא שני}}
-לדוגמה נתבונן בסדרת הפונקציות <math>f_n=\frac1{x^n}</math>. קל לראות שאת סדרת הפונקציות ניתן לרשום כ-<math>\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty=\left\{\frac1{x^n}\right\}_{n=1}^\infty</math>. לדגמה, נבחר <math>x>1</math>. קל לראות ש-<math>\lim_{n\to\infty}\frac1{x^n}0</math>, ולכן <math>f(x)=0</math> היא פונקצית הגבול.
+לדוגמה נתבונן בסדרת הפונקציות <math>f_n(x)=\frac1{x^n}</math>. קל לראות שאת סדרת הפונקציות ניתן לרשום כ-<math>\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty=\left\{\frac1{x^n}\right\}_{n=1}^\infty</math>. לדגמה, נבחר <math>x>1</math>. קל לראות ש-<math>\lim_{n\to\infty}\frac1{x^n}0</math>, ולכן <math>f(x)=0</math> היא פונקצית הגבול.
@@ שורה 28: / שורה 25: @@
 * אם <math>x=1</math> אז <math>f(1)=\lim_{n\to\infty}1^n=1</math>.
 * אם <math>x\in[0,1)</math> אז <math>f(x)=0</math>.
+{{משל}}
 ==דוגמה 2==
 בדקו התכנסות של <math>f_n(x)=\frac1{1+n^2x^2}</math> ב-<math>\mathbb R</math>.
@@ שורה 34: / שורה 32: @@
 * <math>x=0\implies f(x)=\frac1{1+0}=1</math>
 * <math>x\ne0\implies f(x)=\frac1{1+\infty}=0</math>
+{{משל}}
+----
@@ שורה 42: / שורה 42: @@
 נתונה <math>f_n(x)=\left(1+\frac1n\right)x^2</math>. קבע האם f מתכנסת נקודתית/במ"ש ב-<math>(0,1)</math>.
 ===פתרון===
-במקרה שלנו קל לראות ש-<math>f_n(x)</math> מתכנסת נקודתית ל-<math>x^2</math> כי <math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)x^2=\lim_{n\to\infty}x^2+\lim_{n\to\infty}\frac{x^2}{n^2}=x^2+0=x^2</math>
+במקרה שלנו קל לראות ש-<math>f_n(x)</math> מתכנסת נקודתית ל-<math>x^2</math> כי <math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)x^2=\lim_{n\to\infty}x^2+\lim_{n\to\infty}\frac{x^2}{n^2}=x^2+0=x^2</math>. מסקנה: <math>f(x)=x^2</math>.
-====מסקנה====
-<math>f(x)=x^2</math>
-עבור התכנסות במ"ש נבדוק פי הגדרה צריך לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> ולכל <math>x\in I</math> בקטע מתקיים <math>|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon</math> נציב <math>|f_n(x)-f(x)|=\left|\left(1+\frac1n\right)x^2-x^2|=\frac{x^2}n\le\frac1n<\varepsilon</math> ולכן מספיק לבחור <math>n_0\ge\frac1\varepsilon</math> ונקבל את הדרוש.
+כדי לבדוק התכנסות במ"ש נשתמש בהגדרה. צריך להתקיים שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> ולכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon</math>. נציב: <math>|f_n(x)-f(x)|=\left|\left(1+\frac1n\right)x^2-x^2\right|=\frac{x^2}n\le\frac1n<\varepsilon</math>. לכן מספיק לבחור <math>n_0\ge\frac1\varepsilon</math> ונקבל שיש גם התכנסות במ"ש. {{משל}}
 ==דוגמה 4==
 הראה כי <math>f_n(x)=x^n</math> לא מתכנסת במ"ש ב-<math>(0,1)</math>.
 ===פתרון===
-מצאנו בדוגמה 2 ש-<math>f(x)=0</math>. נשים לב כי <math>\lim_{x\to1}x^n=1</math> ז"א <math>\forall n>n_0:\ \exists x_0:\ \frac12<x_0^n<\frac32</math> (לפי הגדרת
+מצאנו בדוגמה 1 ש-<math>f(x)=0</math>. נשים לב כי <math>\forall n\in\mathbb N:\ \lim_{x\to1}x^n=1</math> ז"א <math>\forall n\in\mathbb N:\ \exists x_0:\ \frac12<x_0^n<\frac32</math> (לפי הגדרת הגבול). לכן <math>\exists\varepsilon>0:\ \forall n_0\in\mathbb N:\ \exists n>n_0:\ \exists x_0:\ |f_n(x_0)-f(x_0)|=|x_0^n-0|>\frac12>\varepsilon</math> ולכן ההתכנסות לא במ"ש. {{משל}}

הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/8.5.11"

גרסה מ־16:46, 21 במאי 2011

תוכן עניינים

אינטגרל

דוגמה 1

פתרון

הגדרות

דוגמה 1

פתרון

דוגמה 2

פתרון

דוגמה 3

פתרון

דוגמה 4

פתרון

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים