משתמש:אור שחף/133 - תרגול/8.5.11

אינטגרל

דוגמה 1

ראינו בשיעור שעבר כי $\int\limits_0^1\frac{\cos\left(\frac1x\right)}x\mathrm dx$ מתכנס לפי דיריכלה. נראה שלא מתכנס בהחלט.

פתרון

ברור כי $-1\le\cos\left(\frac1x\right)\le1$ ולכן $\cos^2\left(\frac1x\right)\le\left|\cos\left(\frac1x\right)\right|$. מספיק להסתכל על $\int\limits_0^1\frac{\cos\left(\frac1x\right)}x\mathrm dx=\underline{\frac12\int\limits_0^1\frac{\cos\left(\frac2x\right)}x\mathrm dx}_I+\underline{\frac12\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}x}_{II}$. ברור שאינטגרל II מתבדר, ולכן אם אינטגרל I מתכנס אז סיימנו את ההוכחה: נציב עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \frahttp לא מוכרת): y=\frahttp://www.math-wiki.com/skins/common/images/button_math.pngc2x

ואז $\mathrm dx=\frac{-2}{y^2}\mathrm dy$ נקבל $\int\limits_{-\infty}^2 \frac{\cos(y)}{2/y}\frac{-2\mathrm dy}{y^2}=\int\limits_2^\infty \frac{\cos(y)}y\mathrm dy$ שמתכנס לפי דיריכלה. $\blacksquare$

דוגמה 2

קבעו האם $\int\limits_0^\infty\frac{\mathrm dx}\sqrt{x+x^2}$ מתכנס או מתבדר.

פתרון

נחלק לשני אינטגרלים $\int\limits_0^\infty=\int\limits_0^1+\int\limits_1^\infty$ עבור $x\in(0,1]$ $x+x^2\ge x$, לכן $\frac1\sqrt{x+x^2}\le\frac1\sqrt x$. ברור ש-$\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}\sqrt x$ מתכנס ולכן לפי מבחן ההשוואה $\int\limits_0^1$ מתכנס.

עבור $x\in[1,\infty)$ $\frac1\sqrt{x^3}\ge\frac1\sqrt{x+x^2}$ שוב נסכל על $\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}\sqrt{x^2}$ ולכן גם כן מתכנס לפי מבחן ההשוואה. לסיכום האינטגרל מתכנס. $\blacksquare$

נושא שני:
התכנסות של פונקציות

לדוגמה נתבונן בסדרת הפונקציות $f_n=\frac1{x^n}$. קל לראות שאת סדרת הפונקציות ניתן לרשום כ-$\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty=\left\{\frac1{x^n}\right\}_{n=1}^\infty$. לדגמה, נבחר $x>1$. קל לראות ש-$\lim_{n\to\infty}\frac1{x^n}0$, ולכן $f(x)=0$ היא פונקצית הגבול.

הגדרות

• סדרה $\{f_n\}$ של פונקציות היא התאמה שבה לכל n טבעי מותאמת פונקציה $f_n$.
• אם לכל $x_0$ בקטע הסדרה $\{f_n(x_0)\}$ מתכנסת, אז נאמר כי סדרת הפונקציות "מתכנסת נקודתית" ונסמן $f(x):=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$.

דוגמה 1

קבעו התכנסות של $f_n(x)=x^n$ ב-$[0,1]$.

פתרון

נחלק לשני מקרים:

• אם $x=1$ אז $f(1)=\lim_{n\to\infty}1^n=1$.
• אם $x\in[0,1)$ אז $f(x)=0$.

דוגמה 2

בדקו התכנסות של $f_n(x)=\frac1{1+n^2x^2}$ ב-$\mathbb R$.

פתרון

נחלק למקרים:

• $x=0\implies f(x)=\frac1{1+0}=1$
• $x\ne0\implies f(x)=\frac1{1+\infty}=0$

הגדרה: תהינה $\{f_n\}$ סדרת פונקציות בקטע I. נאמר כי $f_n$ מתכנסת במ"ש אם לכל $\varepsilon>0$ קיים $n_0\in\mathbb N$ כך שלכל $n>n_0$ ולכל $x\in I$ מתקיים $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$.

דוגמה 3

נתונה $f_n(x)=\left(1+\frac1n\right)x^2$. קבע האם f מתכנסת נקודתית/במ"ש ב-$(0,1)$.

פתרון

במקרה שלנו קל לראות ש-$f_n(x)$ מתכנסת נקודתית ל-$x^2$ כי $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)x^2=\lim_{n\to\infty}x^2+\lim_{n\to\infty}\frac{x^2}{n^2}=x^2+0=x^2$

מסקנה

$f(x)=x^2$

עבור התכנסות במ"ש נבדוק פי הגדרה צריך לכל $\varepsilon>0$ קיים $n_0\in\mathbb N$ כך שלכל $n>n_0$ ולכל $x\in I$ בקטע מתקיים $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$ נציב עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): |f_n(x)-f(x)|=\left|\left(1+\frac1n\right)x^2-x^2|=\frac{x^2}n\le\frac1n<\varepsilon

ולכן מספיק לבחור $n_0\ge\frac1\varepsilon$ ונקבל את הדרוש.

דוגמה 4

הראה כי $f_n(x)=x^n$ לא מתכנסת במ"ש ב-$(0,1)$.

פתרון

מצאנו בדוגמה 2 ש-$f(x)=0$. נשים לב כי $\lim_{x\to1}x^n=1$ ז"א $\forall n>n_0:\ \exists x_0:\ \frac12<x_0^n<\frac32$ (לפי הגדרת