פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשע"א, מועד ב', שאלה 3

תהי $A=\begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 \\ 0 & 0 &0 & 1\\ 1& 0 &0 &-2 \\ 0& 1 & 2 &0 \end{pmatrix}$ קבע האם קיימת לA צורת ג'ורדן, ואם כן מצא אותה ואת המטריצה המג'רדנת.

א. מעל $\mathbb{R}$ ב. מעל $\mathbb{C}$

א. נחשב את הפולינום האופייני של $A$: $P_{A}(x)=\begin{vmatrix} x & 0 & -1 & 0\\ 0 & x & 0 & -1\\ -1 & 0 & x & 2\\ 0 &-1 & -2 & x \end{vmatrix}=x\begin{vmatrix} x & 0 &-1 \\ 0 & x &2 \\ -1& -2& x \end{vmatrix}+(-1)\begin{vmatrix} 0 & -1 &0 \\ x & 0 &-1 \\ -1 & -2 & x \end{vmatrix}=x(x^{3}-(x-4x))- (-1-(-x^{2}))=x^{4}+3x{^2}+1-x^{2}=x^{4}+2x^{2}+1=(x^{2}+1)^2=(x-i)^{2}(x+i)^{2}$ אך בגלל שאנחנו מעל $\mathbb{R}$ לא ניתן לעשות את השלב האחרון, ונקבל כי הפולינום האופייני אינו מתפרק לגורמים לינארים, ולכן למטריצה אין צורת ג'ורדן. מ.ש.ל.

ב. מעל $\mathbb{C}$ נקבל את אותו פולינום אופייני, אך כאפשר לעשות את השורה האחרונה. נמצא את הפולינום המינימלי של $A$, ונקבל שהוא שווה לפולינום האופייני, ולכן $J_{A}=\begin{pmatrix} i & 1 & 0 &0 \\ 0 & i & 0 & 0\\ 0& 0 & -i &1 \\ 0& 0 & 0& -i \end{pmatrix}$

את מציאת המטריצה המג'רדנת אני אעשה מחר, צריך ללכת לישון.

זה ארוך מדי לכתוב את זה פה...

אני יכול פשוט להביא את התשובה הסופית וקצת חישובים בדרך בלי לפרט בהכל?