פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ז, מועד ב, שאלה 4

חזרה

הערה: 11 הוא ראשוני, ולכן $\mathbb{Z}_{11}$ הוא שדה. לכן ניתן להשתמש בכל הכלים שפיתחנו בקורס עבור שדה כללי. בנושא ז'ורדן כל מה שפיתחנו נכון ללא תלות בשדה מעליו עובדים (בניגוד לאורתוגונליות). (גם כאשר השדה אינו סגור אלגברית, אבל הפ"א מתפרק לגורמים לינאריים, יש צורת ז'ורדן למטריצה.)

---

ידוע מטריצות דומות <=> צורת ז'ורדן שלהן זהה. לכן מספיק לחשב את צורת ז'ורדן של כל אחת מהמטריצות מעל $\mathbb{Z}_{11}$ ולבדוק אם המטריצות שהתקבלו זהות (עד כדי שינוי סדר הבלוקים).

נסמן $A=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 0 & 4 &5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 6 &5 &3 \\ 0 & 4 &2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

נז'רדן את $A$.

נמצא פ"א: $p_A(x)=|xI-A|=\begin{vmatrix} x-1 &-2 &-3 \\ 0 & x-4 &-5 \\ 0 & 0 & x-6 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x-1 &9 & 8 \\ 0 & x-4 &6 \\ 0 & 0 & x-6 \end{vmatrix}=(x-1)(x-4)(x-6)$

כי דטרמיננטה של מטר' משולשית היא מכפלת אברי האלכסון הראשי.

לכן הע"ע הם 1,4,6.

הפ"א מתפרק לגורמים לינאריים, לכן הוא שווה לפ"מ של A. נוסף על כך, מההתפרקות לגורמים לינאריים נסיק שצורת ז'ורדן קיימת.

קיבלנו שצורת ז'ורדן של A היא: $\begin{pmatrix} J_1(1) & & \\ & J_1(4)& \\ & & J_1(6) \end{pmatrix}$ .

כעת נז'רדן את $B$.

נמצא פ"א: $p_B(x)=|xI-B|=\begin{vmatrix} x-6 &-5 &-3 \\ 0 & x-4 &-2 \\ 0 & 0 & x-1 \end{vmatrix}=(x-1)(x-4)(x-6)$ .

כי דטרמיננטה של מטר' משולשית היא מכפלת אברי האלכסון הראשי. נוסף על כך, מההתפרקות לגורמים לינאריים נסיק שצורת ז'ורדן קיימת.

לכן הע"ע הם 1,4,6.

הפ"א מתפרק לגורמים לינאריים, לכן הוא שווה לפ"מ של B.

קיבלנו שצורת ז'ורדן של B היא: $\begin{pmatrix} J_1(1) & & \\ & J_1(4)& \\ & & J_1(6) \end{pmatrix}$ .

צורות ז'ורדן זהות, ולכן המטריצות הנתונות דומות.