קוד:תכונות של מטריצות נורמליות ואוניטריות

הוכחנו קריטריון לנורמליות וקריטריון לאוניטריות, וכעת נסתכל על מטריצות.

\begin{thm}

תהי $A$ מטריצה ריבועית כלשהי, תהי $\left \langle \;,\; \right \rangle$ המכפלה הפנימית הסטנדרטית ב-$\mathbb{F}^n$, ותהי $A^*$ המטריצה הצמודה ל-$A$ (ז"א $A^*=\overline{A}^t$). אזי:

\begin{enumerate}

\item לכל $u,v\in\mathbb{F}^n$, מתקיים $\left \langle Au,v \right \rangle=\left \langle u,A^*v \right \rangle$.

\item אם $A$ נורמלית, אזי $\left \| Av \right \|=\left \| A^*v \right \|$ לכל $v\in\mathbb{F}^n$.

\item אם $A$ אוניטרית, אזי $\left \| Av \right \|=\left \| v \right \|$ לכל $v\in\mathbb{F}^n$.

\end{enumerate}

\end{thm}

\begin{proof}

נשתמש בעובדה שיחסית לבסיס אורתונורמלי, המטריצה המייצגת של $T^*:V\rightarrow V$ שווה ל-$A^*$, כש-$A$ המטריצה המייצגת ל-$T$.

נסתכל על האופרטור $T=L_A\left(v\right)=Av$. המטריצה המייצגת שלו יחסית לבסיס הסטנדרטי היא $A$.

\begin{enumerate}

\item לכל $u,v\in\mathbb{F}^n$, $$\left \langle Au,v \right \rangle=\left \langle T\left(u \right ),v \right \rangle=\left \langle u,T^*\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle u,A^*v \right \rangle$$

\item אם $A$ נורמלית, אזי גם $T$ נורמלית, ז"א $T^*T=TT^*$, ולכן לכל $v\in\mathbb{F}^n$: $$\left \| Av \right \|^2=\left \| T\left (v \right ) \right \|^2=\left \langle T\left(v \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle v,T^*T\left(v \right ) \right \rangle=$$ $$=\left \langle v,TT^*\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle T^*\left(v \right ),T^*\left(v \right ) \right \rangle=\left \| T^*\left(v\right) \right \|^2=\left \| A^*v \right \|^2$$ ולכן $\left \| Av \right \|=\left \| A^*v \right \|$.

\item אם $A$ אוניטרית, אזי גם $T$ אוניטרית, ז"א $T^*T=I$, ולכן לכל $v\in\mathbb{F}^n$: $$\left \| Av \right \|^2=\left \| T\left (v \right ) \right \|^2=\left \langle T\left(v \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle v,T^*T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle v,I\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle v,v \right \rangle=\left \| v \right \|^2$$ ולכן $\left \| Av \right \|=\left \| v \right \|$.

\end{enumerate}

\end{proof}

\begin{remark}

אפשר להוכיח את המשפט הקודם מבלי להשתמש בתכונות של $T$.

\end{remark}