שיחה:88-133 תשעא סמסטר ב

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

שאלות

שאלה 3 בתרגיל 1

אני מניח גם שנתון ש$f(a)$ שונה מ-$f(c)$ אחרת פשוט אפשר לקחת פונקציה קבועה ולהפריך?

תודה על התיקון ! חסר היה נתון בשאלה - שתוקן . אנא שימו לב לנוסח המתוקן . תומר .

איפה התרגילים?

לא מופיע קישור לתרגיל /: האם מופיע עכשיו ? תומר .

שאלה 2

אני מניח שהתכוונת כך שמתקיים ולא כך שקיים. נכון? תומר - כתבתי שזה לכל X בקטע ...

ההוכחות בדף המצורף (http://math-wiki.com/images/5/52/11dercon.pdf)

נראה שיש הרבה טעויות ודברים לא מובנים בהוכחות בדף, אנא תקן. למשל ב"ולכן הנקודה a איננה נקודת המינימום של gx בקטע שלנו – ומכאן נקבל a<x0. באופן דומה נוכל להוכיח כי x0<b ולכן קיבלנו : b ≥ 0x≥ a. דבר ראשון, לא הבנתי איך הוכחת ש a<x0, כל מה שאמרת זה a היא אינה נקודת מינמום ש g, איך מפה נובע a<x0?? וחוץ מזה, איך מפה מגיעים ל b ≥ 0x≥ a? לא אמרנו הרגע ש x0 קטן ממש מa ולא קטן שווה? תודה מראש.

ראשית - עצה קטנה לחיים - לפני שאת/ה קובע על מספר הטעויות שקיים בדף (אם יש כאלו בכלל ) - מומלץ שתהיה בטוח שאכן אלו טעויות .רוצה לאמר - בדוק עצמך לפני ... לעניינינו : נקודת מינימום הרי חייבת להיות בקטע (לפחות אחת ) - מרציפות . ונקרא לה x0. על סמך שיקול הנגזרת הימנית של g ב - a , מקבלים לפי הגדרת הגבול של הנגזרת כי המונה באותו ביטוי הינו שלילי כשנמצאים מספיק קרוב ל-a . מזה נובע קיום נקודה a+h מימין לa , עבורה ערך g קטן מהערך של g ב- a . לכן ב -a לא יכול להתקבל מינימום כי קיבלנו ערך קטן יותר מהערך שבה בקטע! בדומה עבור בדיקה האם ייתכן שהמינימום יתקבל ב -b . כעת - מקבלים ש- x0 הינה בקטע הפתוח אבל זה גורר שהיא גם בקטע הסגור ! (שים לב לניסוח הטענה במשפט ! ) , אך ספציפית קיבלנו שהיא בקטע הפתוח ושם נוכל ליישם את משפט פרמה .

תומר .

סליחה... זה פשוט היה לא מובן... תודה

הכל בסדר :) תומר .

שאלה 2 תרגיל 1

בשאלה לא אמור להיות נתון גם ש f רציפה ב [a,b] (בקצוות)? או שאפשר להגיד שנגדיר את הפונקציה בקצוות להיות שווה לגבול בקצוות ואז הפונקציה תהיה רציפה ב [a,b]? תודה.

לשאלתך - לא אמור להיות נתון המידע על רציפות בקצוות כי מלכתחילה הטענה מתייחסת לקטע הפתוח! תומר .

תרגיל 2 שאלה 4 ב'

מותר לא לחשב את הקירוב הפולינומיאלי של ln(1+1/x) באינסוף אלא לבדוק עם תוכנה? (גיליתי שאיכשהו אפשר לעשות את זה http://www.wolframalpha.com/input/?fp=1&i=series+of+log(1%2b1/x)+at+x+%3d+inf&s=63&incTime=true) אני פשוט לא יודע מה לעשות בלי זה...

"תוכנה" ? ... לא מכיר דבר כזה בהקשר של חישוב באינפי ...:) בתוכנה ניתן להשתמש לבדיקה וכדומה , אבל באינפי אנחנו מוכיחים , מנמקים או מפריכים בשימוש מיטב הכלים שיש למתמטיקה להציע : נייר ועיפרון ... תומר .

תרגיל 3 שאלה 3

נאמר בתרגיל שצריך לחשב פונקציה. מה הכוונה בעצם?

תומר : הכוונה היא למצוא מהם הערכים שהפונקציה מקבלת... האם ייתכן שאבקש מכם לרשום את הערכים אם היה מספר אינסופי שלהם ? (...) .

תרגיל 3- שאלות:1,3

שטח מינימלי יכול להיות גם 0? בנוסף, מצטרף לשאלה שמעליי. באיזה כלים אתה רוצה שנשתמש בשאלה 3? תומר : שטח מינימלי במקרה זה לא יוצא 0 ... הכלים ? כל כלי נכון הוא ליגיטימי ! הייתי אומר שאלמנטים של חקירת פונקציה יכולים להיות לעזר כאן.( לא יכול להגיד יותר מבלי לתת את הכיוון לפיתרון ) .

לא הבנתי מה עושים בשאלה 3 (תרגיל 3)..

מה זה אומר לחשב את הפונקציה? מה זה אומר לחשב את הערכים שהפונקציה מקבלת? תודה...

תומר : זה אומר למצוא אילו ערכים מקבלת הפונקציה

כאילו עבור אילו X-ים היא מוגדרת??

תרגיל 3 שאלה 2b

איך מוצאים פתרון למשוואה $\frac{x}{2}=\arctan x$?

האם אפשר פשוט להוציא תשובות מMATLAB ולכתוב אותם שם או שיש דרך לפתור את זה בצורה אלגברית?

אני כתבתי שחוץ מהפתרון ברור אחד, את שאר הפתרונות אפשר להבין (עם שגיאה גסה) בעזרת שרטוט הגרף- וכך לפי הגרף מצאתי פתרונות משוערים. ככה אני חושב שגם התכוונו שנפתור.

אבל אמורים לשרטט את הגרף לפי הפתרונות ולא להפך...

תומר : מבחינת נקודות חיתוך עם צירים - יש לציין אותן כמובן במקרה שניתן לחשבן ... אם לא ניתן לעשות כן יספיק קירוב לערך ...

ואת הקירוב מוצאים באמצעים חיצוניים? (תוכנה למשל?)

שאלה 3

האם המשפט הראשון בשאלה הוא הנתון היחיד שבו אפשר להשתמש או שמותר גם להשתמש במחשבון לחישוב מס' סופי של נקודות?

תומר : חישוב בעזרת מחשבון יכול להיות לעזר רק עבור אינטואיציה .בעיקרון אפשר לפתור את השאלה בלי מחשבון וכך צריך לפתור אותה !

תרגיל 4

כשהגשתי את תרגיל 3 הגשתי גם את שאלה 4 עם האינטגרלים.

לתרגיל 4 אני גם אצטרך להגיש את האינטגרלים מתרגיל 3?

תומר : אין צורך להגיש שוב - ציין בכותרת התרגיל שהשאלה הזו נפתרה בהגשה הקודמת כדי שהבודק יוכל לעשות שקלול . אם תהיה בעייה - הזכר לי באחד המפגשים שלנו ואוודא שזה טופל .

שימושי מחשבים

מצטערת שאני שואלת את השאלה כאן אבל אין לי ברירה, אין פורום לשימושי מחשבים. בתרגיל 2 (זה שצריך להגיש מחר), ב-mupad, שאלה 3, כתוב: "כמה פעמים מופיעה סדרה של לפחות שלוש ספרות זהות ("000", "111" או כדומה) בתוך 10000 הספרות העשרוניות הראשונות של פאי?" ואני לא מבינה למה הם מתכוונים ב"סדרה של לפחות 3 ספרות זהות". נניח שזהו המספר: 1222223. כמה סדרות יש פה? אולי 1, כי כתוב "לפחות שלוש..." ואז יש פה סדרה אחת של 5 פעמים "2". הרי למילה "לפחות" יש תפקיד, לא? ואולי 3, כי אפשר להסתכל על זה ככה: 222 22, 2 222 2, 22 222. כלומר לספור כמה פעמים יש רצף של שלוש ספרות. ואולי בכלל 6, כי אפשר לספור כמה פעמים יש רצף של לפחות 3 ספרות, ואז יוצא ככה: 222 22, 2 222 2, 22 222, 2222 2, 2 2222, 22222.

אז אני בדילמה :\

תומר : שאלה טובה , אמנם לא לפורום שלנו כאן - אבל אני מרגיש את הלחץ ולכן הפעם נרשה את השאלה הזו . תשובה - מישהו ? אם למישהו יש שאלות ב matlab - השפה בה אני משתמש ביומיום - מוזמן לשאול , אך כמובן שלא בפורום זה :) .

תודה :) הבעיה שלי היא בהבנת הנקרא, זה לא משנה באיזו תוכנה צריך לעשות את המשימה...

לדעתי הכוונה כאן היא לכמה פעמים יש רצף של שלוש ספרות. אחרת, את תצטרכי לבדוק עבור 3 ספרות, עבור 4, עבור 5, עבור 6 וכך הלאה (הרי אמירה אינטואיטיבית שתתכן למשל עד רצף של 10 ספרות לא תתקבל שכן היא לא תהיה מבוססת). אין דרך לעשות את הריצה האינסופית הזו (לפחות אין דרך שלמדנו בהרצאה/בתרגול) ולכן אני מניח שזו הכוונה. אם יש בעיות נוספות את מוזמנת לפנות אליי. גל א. הערה: האמת היא שזו לא ריצה אינסופית, הרי הרצף המקסימלי יכול להיות באורך 10000. אבל עדיין הבדיקה מסובכת מידי ולדעתי הכוונה היא לרצף של 3 + אם יש רצף של 4 לספור אותו כנשיים וכן הלאה. גל.

הצעה נוספת: אולי כדאי שנפתח כאן פורום לשימושי מחשב, כפי שפתחו כאן שנה שעברה (או כפי שפתחו כאן למבוא לחישוב בסמסטר שעבר). אם מישהו ממנהלי האתר רואה את זה (ארז?!? תומר?!?) נשמח אם זה יעשה. גל א.

כן זה באמת יוצא בעייתי, למרות שזה הדבר המתבקש לפי הפשט של הניסוח. אז אתה אומר שבדוגמה של ה-22222 התשובה היא 3? טוב, תודה. נקווה שלזה התכוון המשורר

נראה לי שמצאתי דרך לחשב כמה פעמים יש חזרות (במקרה שעבור 22222 התשובה 6): אפשר לכתוב פונקציה שמקבלת מספר איברים ברצף (נסמן: N) ומחזירה כמה צירופים בעלי 3 ספרות או יותר יש. היא פשוט תריץ לולאת for כאשר i יורד מ-N ל-3 ובכל פעם $numOfCombinations:=numOfCombinations+N-i+1$. לגלות כמה איברים יש ברצף שמוצאים זה לא בעיה.

נראה לי שאפתור בשלוש הדרכים ><"

פתחתי פורום לשימושי מחשב כאן.

תרגיל 5 שאלה 3

לא הבנתי איך הרמז הזה עוזר..

תרגיל 6 שאלה 1 с

מה זאת אומרת תהי A "אינסופית ששייכת ל [0,1]? תודה.

לא מתרגל: אתן דוגמא. $A=\left \{ \frac{1}{n} \right \}_{n\in \mathbb{N}}$. אזי, ניתן להגדיר העתקה: $\varphi:\mathbb{N} \to \ A$ ע"י: $\varphi (n) = \frac{1}{n}$ סה"כ, נקבל:$\left | A \right |=\left | \mathbb{N} \right |$

מה הקשר לA ששייכת ל[0,1]???

תומר : הכוונה ב"מוכלת" ...

תודה זה מה שחשבתי...

תרגיל 6 שאלה 2

2 שאלות: -האם ניתן לצטט את הטענות הבאות מההרצאה: *אם f אינטגרבילית בקטע ו fx>=0 לכל x בקטע, אז האינטגרל של הפונקציה בקטע >=0. *כנ"ל רק עם גדול ממש בשני החלקים של הטענה. ללא הוכחה? -ב2. ב., הכוונה שהיא שהנתונים זהים לנתונים מהסעיף הקודם? (כלומר שf עדיין רציפה ואי שלילית והקטע הוא אותו קטע? תודה!

תומר : שאלה ראשונה - לא לצטט אלא להוכיח. יש לכם את הכלים ... שאלה שנייה - האם נתון כאן אי שלילית ? אם לא אז לא ניתן להניח כך מראש !

תודה...

שאלות 3,4

בשאלה 4 הכוונה היא לn טבעי נכון? ולשאלה 3, הצלחתי להפוך את איברי הסדרה לצורה הרבה יותר פשוטה אבל אני עדיין לא מצליח לפתור. עדיין זה כאילו יש לי 2 משתנים, i ו n, ולכן אני לא מצליח להפוך את איברי הסדרה לפונקציה כמו שעשינו בכיתה. אשמח להכוונה

כמה שאלות (שלא מהש"ב)

ברצוני לשאול כמה שאלות:

1. איך ניתן להוכיח שהגבולות של האינטגרלים

$\lim_{\omega \rightarrow \infty} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(\omega x) dx$

$\lim_{\omega \rightarrow \infty} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(\omega x) dx$

הם 0? לכל פונקציה רציפה $f$ ומספר קבוע $\omega \in \Z - \{0\}$, האם הטענה נכונה גם לכל קבוע ממשי $\omega \in \R-\{0\}$?

2. האם קיימת פונקציה רציפה $f$ בקטע [0,1] כך שלכל $n \in \N$ מקיימת כי -

$\int_0^1 f(x)x^n dx = 0$

..?

תומר : 1. הטענה נכונה לכל פונקציה אינטגרבילית ! (רמז בשלב זה לא נותן - נסו לחשוב לבד ...)

      2. האם תרצו להוסיף תנאים על הפונקציה? - שהרי הפונקציה אפס מקיימת את התנאי  (?)

ב-2 הכוונה האם קיימת פונקציה רציפה שאינה פונקצית האפס..

טוב, הצלחתי להוכיח את הטענה הראשונה, ע"י שימוש באי-שוויון קושי-שוורץ:

$|\int f(x)\sin(\omega x) dx| <= \sqrt{\int f^2(x)dx} \cdot \sqrt{\int \sin^2(\omega x) dx}$

(כל האינטגרלים הינם מסויימים, כמובן)

ניתן להראות ע"י בדיקה ישירה כי -

$\lim_{\omega \rightarrow \infty} \int \sin^2(\omega x)dx = 0$

(וכנ"ל לגבי הקוסינוס), ובכך נובעת הטענה.

עדיין אשמח לתשובה לשאלה השנייה (בבקשה)..

בוחן :)

עד איזה חומר יהיה הבוחן? (מבחינת התרגול וגם ההרצאות) (חג שמח =] )

זה דיי נהיה דחוף יותר מיום ליום אז מישהו??

מצטרף לשאלה, זה נהיה ממש דחוף

מצטרף

הבוחן

מתי הבוחן ומה החומר תודה

הבוחן יהיה בתאריך 03/05

תשובות לתרגילים

הועלו תשובות רק לתרגילים 1 ו2, נשמח אם תוכלו להעלות גם את הפתרונות לתרגילים האחרים. תודה!

תרגיל 7 שאלה 7

מה זה אומר d/dx? וגם, אפשר רמז לגבי 4? תודה!!

האינטגרל שם הוא פונקציה של x אז אם נסמן אותו כ-y אז בעצם נקבל שמה שכתוב שם זה dy/dx שזה בעצם הנגזרת של y

תודה

תומר : מוזר שאתם לא מכירים את הסימון הזה לנגזרת ! מהר ללמוד אותו :) - נגזרת של הביטוי לפי המשתנה x לפי מה שכתבו כאן.

תרגיל 7 שאלה 2b

לא הבנתי מה הכוונה ב max(f,g) כאילו max של ההרכבה?

לכל x בקטע הערך של הפונקציה אם $f(x)>=g(x)$ אז הערך הוא $f(x)$ ועבור $f(x)<g(x)$ אז הערך הוא $g(x)$

כמה שאלות על תרגיל 8

1.מה זה אומר- ללא שאלה 5 "שבו"? 2.בשאלה 6, מה זה אומר "f גזירה ברציפות"? (גזירה ורציפה?) 3.לגבי שאלה 8, האם ניתן להגיד בוודאות שהנגזרת של האינטגרל שבאגף השמאלי של המשוואה שווה ל e^-x^2-e^0, או שבגלל שלא בטוח שלאינטגרנד יש קדומה, אי אפשר להגיד את זה? תודה רבה!

תומר - ללא שאלה 5 הכוונה שאין צורך לפתור שאלה זו. גזירה ברציפות משמע גזירה עם נגזרת רציפה !!! (מפתיע שאתם שואלים על זה ...) . לגבי שאלה 8 - אני מציע לחזור על המשפט הדן בנושא - המשפט היסודי של החדוו"א - שמדבר על גזירת אינטגרל מסויים בעל גבול שתלוי במשתנה ...

שאלה:

ע"פ השקפת העולם של הקורס, למה שווה האינטגרל המסוים: int(-inf,inf)(x)dx [אינטגרל ממינוס אינסוף עד אינסוף של איקס די איקס], לאפס (אי זוגית), לא מוגדר (מינוס אינסוף ועוד אינסוף), משהו אחר,...???

למיטב ידיעתי האינטגרל $\int_{x=-\infty}^{\infty} xdx$ לא קיים (כלל). זוהי דוגמא לכך שלא מתקיים כי

$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{-t}^{t} f(x)dx$

כמובן שכאשר האינטגרל מתכנס אזי שהוא גם שווה לגבול הזה. (אפשר בעצם להסתכל על זה כעל התכנסות של סדרה: אם תת-סדרה שלה מתכנס זה לא מבטיח שהיא עצמה מתכנס אולם ההפך תמיד נכון.)

תומר : השקפת העולם של הקורס והעולם המתמטי בכלל (...) היא כזו שהאינטגרל הזה מתבדר, משום שיש לפצלו לשני אינטגרלים בעזרת נקודת ביניים ממשית , וכל אחד משני אלו (מספיק אחד לפחות) - מתבדר ! החישוב שצוייו כאן על גבול סימטרי שהגבולות שואפים באותו קצב לאינסוף ולמינוס אינסוף - אינו נכון ! השאיפה לגבול באחד לא צריכה להיות תלויה בשני !

תיקונים

שלום, לגבי http://math-wiki.com/images/e/e6/09Infi2sol3.pdf אני חושבת שיש שם טעות:

1. בתשובה של 2.ב, הטעות היא בנגזרת השנייה שיצאה.

2. אני לא בטוחה, אבל נראה לי ש-2arctanx שואף לפאי באינסוף, ולא למינוס פאי. אם כך אז יש טעות גם באסימפטוטות בתרגיל.

ולגבי http://math-wiki.com/images/6/69/09Infi2sol4.pdf :

בתרגיל 4.א אני חושבת שזה אמור להיות חצי arctan ולא arctan חלקי שורש 2.

תומר: טוב שאתם בודקים .אבל בדקו שוב ... (אני לא מבין עד עכשיו מה זה "חושב/ת שיש טעות- או שיש טעות או שאין! אתם אמורים לדעת אם יש טעות למשל אם תגזרו את הפונקציה ותראו שקיבלתם את זו שעשיתם לה אינטגרל , או בכל חישוב אחר . יש לכם כלים לדעת בוודאות אם יש טעות או אין ! ).

חושבת, פשוט כי אני לא משערת שתטעה במתמטיקה. מצד שני, כל אחד יכול לטעות. אני את הבדיקה עשיתי ולדעתי יש טעות. אם אין, יותר טוב.

פונקציות בשני משתנים

כשמחפשים נקודות קיצון בפונקציה בשני משתנים איך ממשיכים כאשר אחת הנגזרות החלקיות לא מוגדרת לחלק מהערכים. בהרצאה אמרו לנו שזו נקודה חשודה- בודקים אותה כמו שאר הנקודות.

דוגמא: $f(x,y)=log(x+y)+2x^2-y^2$

הנגזרות החלקיות: $df/dx=1/(x+y)-4y$

$df/dx= 1/(x+y)+4x$

כלומר,הפונקציה לא מוגדרת לכל y=-x

תומר - איך זה בדיוק קשור לתירגולים שלנו ???

שאלה למחשבה

אפשר לדעת מה הפונקציה המקורית לפי פיתוח הטיילור שלה? אם כן אז אפשר לפתח תורה (פיתחו כבר?) של מציאת הפונקציה על פי פיתוח הטיילור שלה! (יכול להיות שצריך לדעת נתונים נוספים, זה גם נחשב. כמו לדוגמה שאי אפשר להגיד מה הפונקציה המקורית לנגזרת של פונקציה(שיודעים לחשב את האינטגרל שלה) על פי הנגזרת(כי יש תוספת קבוע), אבל אם נתונה הנגזרת ונקודה שבה הפונקציה עוברת בה אז אפשר לחשב את הפונקציה המקורית.)

מבחנים

יש איפשהו מאגר של מבחנים משנים קודמות, לתרגל מהם?

שאלה בקשר לחישוב אינטגרל לא מסויים

בבקשה צריך עזרה, התרגיל הוא: $1/ׂ(x^3-1)$

המכנה מתפרק ל: $(x-1)(x^2+x+1)$

ניסיתי לעשות לפי פירוק, אבל זה מגיע לביטוי שלא חושב שאפשר להמשיך ממנו, מה גם שהדרך מאוד ארוכה בשביל סעיף ממבחן.

תודה מראש, אלון.

אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית --ארז שיינר

תודה רבה!

ארז, תודה על השלבים לפתרון אינטגרל שהעלית, עזר לי מאוד והצלחתי לפתור! תודה רבה!