השינוי האחרון נעשה בֹ־13 בנובמבר 2012 ב־08:36

שילוש מטריצה

גרסה מ־08:36, 13 בנובמבר 2012 מאת ארז שיינר (שיחה | תרומות) (←‏דוגמאות)

(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)

הגדרה

מטריצה A נקראת ניתנת לשילוש אם קיימת מטריצה משולשית עליונה הדומה לה

משפט

מטריצה ריבועית ניתנת לשילוש אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים

אלגוריתם לשילוש מטריצה

ניקח את האיחוד של הבסיסים למרחבים העצמיים E ונשלים אותו לבסיס B

נשים את וקטורי B בעמודות מטריצה P ונביט במטריצה $Q = P^{-1}AP$

נסמן $k=|E|$ . נסמן ב $Q_k$ את המטריצה המתקבלת מ Q על ידי מחיקת k השורות הראשונות וk העמודות הראשונות.

לפי אינדוקציה, ניתן לשלש את המטריצה $Q_k$ על ידי המטריצה $P_1$ .

נסמן $Q_1=I_k\oplus P_1$ , כאשר $I_k$ הינה מטריצה היחידה מגודל k.

סה"כ $Q_1^{-1}P^{-1}APQ_1$ הינה מטריצה משולשית

דוגמאות

נשלש את המטריצה

A=\begin{pmatrix}-1 & -3 & -4 & -5 \\ 1 & 1 & -1 & -3 \\ 2 & 5 & 9 & 12 \\ -1 & -2 & -3 & -3 \end{pmatrix}

ראשית נמצא את הפולינום האופייני:

p_A(x)=(x-1)^2(x-2)^2

הוא מתפרק לגורמים לינאריים, לכן המטריצה ניתנת לשילוש. הע"ע הינם 1,2.