תקציר אנליזה מודרנית 1, סמסטר א תשע״ג

מידת לבג

מידה חיצונית

בפרק זה, אלא אם צוין אחרת, $\{I_n\}_{n=1}^\infty$ היא סדרת קטעים פתוחים. כמו כן, בהנתן קטע $I$ נסמן כ־$|I|$ את אורכו (השווה ל־$\sup(I)-\inf(I)$) במקום את עוצמתו.

• מידה חיצונית: תהי $E\subseteq\mathbb R$. המידה החיצונית של $E$ היא $m^*(E):=\inf\left\{\sum_{n=1}^\infty|I_n|:\ E\subseteq\bigcup_{n=1}^\infty I_n\right\}$.
• $\forall E\subseteq\mathbb R:\ m^*(E)\in[0,\infty)$
• $\forall x_0\in\mathbb R:\ m^*(\{x_0\})=m^*(\varnothing)=0$
• מונוטוניות עולה חלשה: $\forall A\subseteq B\subseteq\mathbb R:\ m^*(A)\le m^*(B)$.
• אם $E$ קטע אזי $m^*(E)=|E|$.
• אם $\{E_n\}_{n=1}^\infty$ סדרת קבוצות ב־$\mathbb R$ ו־$E=\bigcup_{n=1}^\infty E_n$ אזי $m^*(E)\le\sum_{n=1}^\infty m^*(E_n)$.
• הזזה: בהנתן קבוצה $E$ ו־$x_0\in\mathbb R$ הקבוצה $x_0+E=E+x_0$ היא הזזה שלה ומוגדרת כ־$\{x_0+x:\ x\in E\}$.
• שמירות תחת הזזה: $\forall x_0\in\mathbb R\ \and\ E\subseteq\mathbb R:\ m^*(x_0+E)=m^*(E)$.
• לא קיימת מידה $m$ על $\mathbb R$ המקיימת את כל התכונות הבאות:
  1. $m(E)$ קיימת לכל $E\subseteq\mathbb R$ ומקיימת $0\le m(E)\le\infty$.
  2. לכל קטע $E\subseteq\mathbb R$, $m(E)=|E|$.
  3. $m$ שמורה תחת הזזה.
  4. אם $E=\biguplus_{n=1}^\infty E_n$ אזי $m(E)=\sum_{n=1}^\infty m(E_n)$.
• קבוצה מדידה: תהי $E\subseteq\mathbb R$. היא תקרא "מדידה" או "מדידה לבג" אם $\forall A\subseteq\mathbb R:\ m^*(A)=m^*(A\cap E)+m^*(A\setminus E)$.
• אם $E,F$ מדידות וזרות אזי $m^*(E\uplus F)=m^*(E)+m^*(F)$.
• $E$ מדידה אם״ם $E^\complement$ מדידה.
• $E$ מדידה אם״ם $\forall A\subseteq\mathbb R:\ m^*(A)\ge m^*(A\cap E)+m^*(A\setminus E)$.
• אם $m^*(E)=0$ אזי $E$ מדידה.
• אם $E$ מדידה אזי לכל $x_0\in\mathbb R$, גם $x_0+E$ מדידה.
• כל קטע מהצורה $(a,\infty)$ ($a\in\mathbb R$) מדיד.