הצגת המקור של תקציר אנליזה מודרנית 1, סמסטר א תשע״ג

== מידת לבג ==
=== מידה חיצונית ===
בפרק זה, אלא אם צוין אחרת, <math>\{I_n\}_{n=1}^\infty</math> היא סדרת קטעים פתוחים. כמו כן, בהנתן קטע <math>I</math> נסמן כ־<math>|I|</math> את אורכו (השווה ל־<math>\sup(I)-\inf(I)</math>) במקום את עוצמתו.
* '''מידה חיצונית:''' תהי <math>E\subseteq\mathbb R</math>. המידה החיצונית של <math>E</math> היא <math>m^*(E):=\inf\left\{\sum_{n=1}^\infty|I_n|:\ E\subseteq\bigcup_{n=1}^\infty I_n\right\}</math>.
* <math>\forall E\subseteq\mathbb R:\ m^*(E)\in[0,\infty)</math>
* <math>\forall x_0\in\mathbb R:\ m^*(\{x_0\})=m^*(\varnothing)=0</math>
* '''מונוטוניות עולה חלשה:''' <math>\forall A\subseteq B\subseteq\mathbb R:\ m^*(A)\le m^*(B)</math>.
* אם <math>E</math> קטע אזי <math>m^*(E)=|E|</math>.
* אם <math>\{E_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרת קבוצות ב־<math>\mathbb R</math> ו־<math>E=\bigcup_{n=1}^\infty E_n</math> אזי <math>m^*(E)\le\sum_{n=1}^\infty m^*(E_n)</math>.
* '''הזזה:''' בהנתן קבוצה <math>E</math> ו־<math>x_0\in\mathbb R</math> הקבוצה <math>x_0+E=E+x_0</math> היא הזזה שלה ומוגדרת כ־<math>\{x_0+x:\ x\in E\}</math>.
* '''שמירות תחת הזזה:''' <math>\forall x_0\in\mathbb R\ \and\ E\subseteq\mathbb R:\ m^*(x_0+E)=m^*(E)</math>.
* לא קיימת מידה <math>m</math> על <math>\mathbb R</math> המקיימת את כל התכונות הבאות:
*# <math>m(E)</math> קיימת לכל <math>E\subseteq\mathbb R</math> ומקיימת <math>0\le m(E)\le\infty</math>.
*# לכל קטע <math>E\subseteq\mathbb R</math>, <math>m(E)=|E|</math>.
*# <math>m</math> שמורה תחת הזזה.
*# אם <math>E=\biguplus_{n=1}^\infty E_n</math> אזי <math>m(E)=\sum_{n=1}^\infty m(E_n)</math>.
* '''קבוצה מדידה:''' תהי <math>E\subseteq\mathbb R</math>. היא תקרא "מדידה" או "מדידה לבג" אם <math>\forall A\subseteq\mathbb R:\ m^*(A)=m^*(A\cap E)+m^*(A\setminus E)</math>.
* אם <math>E,F</math> מדידות וזרות אזי <math>m^*(E\uplus F)=m^*(E)+m^*(F)</math>.
* <math>E</math> מדידה אם״ם <math>E^\complement</math> מדידה.
* <math>E</math> מדידה אם״ם <math>\forall A\subseteq\mathbb R:\ m^*(A)\ge m^*(A\cap E)+m^*(A\setminus E)</math>.
* אם <math>m^*(E)=0</math> אזי <math>E</math> מדידה.
* אם <math>E</math> מדידה אזי לכל <math>x_0\in\mathbb R</math>, גם <math>x_0+E</math> מדידה.
* כל קטע מהצורה <math>(a,\infty)</math> (<math>a\in\mathbb R</math>) מדיד.