הבדלים בין גרסאות בדף "תקציר אנליזה מודרנית 1, סמסטר א תשע״ג"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "== מידת לבג == === מידה חיצונית === בפרק זה, אלא אם צוין אחרת, <math>\{I_n\}_{n=1}^\infty</math> היא סדרת קטעים פ...")
 
מ (←‏מידה חיצונית)
 
שורה 4: שורה 4:
 
* '''מידה חיצונית:''' תהי <math>E\subseteq\mathbb R</math>. המידה החיצונית של <math>E</math> היא <math>m^*(E):=\inf\left\{\sum_{n=1}^\infty|I_n|:\ E\subseteq\bigcup_{n=1}^\infty I_n\right\}</math>.
 
* '''מידה חיצונית:''' תהי <math>E\subseteq\mathbb R</math>. המידה החיצונית של <math>E</math> היא <math>m^*(E):=\inf\left\{\sum_{n=1}^\infty|I_n|:\ E\subseteq\bigcup_{n=1}^\infty I_n\right\}</math>.
 
* <math>\forall E\subseteq\mathbb R:\ m^*(E)\in[0,\infty)</math>
 
* <math>\forall E\subseteq\mathbb R:\ m^*(E)\in[0,\infty)</math>
−
* <math>\forall x_0\in\mathbb E:\ m^*(\{x_0\})=m^*(\varnothing)=0</math>
+
* <math>\forall x_0\in\mathbb R:\ m^*(\{x_0\})=m^*(\varnothing)=0</math>
 
* '''מונוטוניות עולה חלשה:''' <math>\forall A\subseteq B\subseteq\mathbb R:\ m^*(A)\le m^*(B)</math>.
 
* '''מונוטוניות עולה חלשה:''' <math>\forall A\subseteq B\subseteq\mathbb R:\ m^*(A)\le m^*(B)</math>.
 
* אם <math>E</math> קטע אזי <math>m^*(E)=|E|</math>.
 
* אם <math>E</math> קטע אזי <math>m^*(E)=|E|</math>.
 
* אם <math>\{E_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרת קבוצות ב־<math>\mathbb R</math> ו־<math>E=\bigcup_{n=1}^\infty E_n</math> אזי <math>m^*(E)\le\sum_{n=1}^\infty m^*(E_n)</math>.
 
* אם <math>\{E_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרת קבוצות ב־<math>\mathbb R</math> ו־<math>E=\bigcup_{n=1}^\infty E_n</math> אזי <math>m^*(E)\le\sum_{n=1}^\infty m^*(E_n)</math>.
 
* '''הזזה:''' בהנתן קבוצה <math>E</math> ו־<math>x_0\in\mathbb R</math> הקבוצה <math>x_0+E=E+x_0</math> היא הזזה שלה ומוגדרת כ־<math>\{x_0+x:\ x\in E\}</math>.
 
* '''הזזה:''' בהנתן קבוצה <math>E</math> ו־<math>x_0\in\mathbb R</math> הקבוצה <math>x_0+E=E+x_0</math> היא הזזה שלה ומוגדרת כ־<math>\{x_0+x:\ x\in E\}</math>.
−
* '''שמירות תחת הזזה:''' <math>\forall x_0\in\mathbb E\ \and\ E\subseteq\mathbb R:\ m^*(x_0+E)=m^*(E)</math>.
+
* '''שמירות תחת הזזה:''' <math>\forall x_0\in\mathbb R\ \and\ E\subseteq\mathbb R:\ m^*(x_0+E)=m^*(E)</math>.
 
* לא קיימת מידה <math>m</math> על <math>\mathbb R</math> המקיימת את כל התכונות הבאות:
 
* לא קיימת מידה <math>m</math> על <math>\mathbb R</math> המקיימת את כל התכונות הבאות:
 
*# <math>m(E)</math> קיימת לכל <math>E\subseteq\mathbb R</math> ומקיימת <math>0\le m(E)\le\infty</math>.
 
*# <math>m(E)</math> קיימת לכל <math>E\subseteq\mathbb R</math> ומקיימת <math>0\le m(E)\le\infty</math>.

גרסה אחרונה מ־18:50, 5 בנובמבר 2012

מידת לבג

מידה חיצונית

בפרק זה, אלא אם צוין אחרת, \{I_n\}_{n=1}^\infty היא סדרת קטעים פתוחים. כמו כן, בהנתן קטע I נסמן כ־|I| את אורכו (השווה ל־\sup(I)-\inf(I)) במקום את עוצמתו.

  • מידה חיצונית: תהי E\subseteq\mathbb R. המידה החיצונית של E היא m^*(E):=\inf\left\{\sum_{n=1}^\infty|I_n|:\ E\subseteq\bigcup_{n=1}^\infty I_n\right\}.
  • \forall E\subseteq\mathbb R:\ m^*(E)\in[0,\infty)
  • \forall x_0\in\mathbb R:\ m^*(\{x_0\})=m^*(\varnothing)=0
  • מונוטוניות עולה חלשה: \forall A\subseteq B\subseteq\mathbb R:\ m^*(A)\le m^*(B).
  • אם E קטע אזי m^*(E)=|E|.
  • אם \{E_n\}_{n=1}^\infty סדרת קבוצות ב־\mathbb R ו־E=\bigcup_{n=1}^\infty E_n אזי m^*(E)\le\sum_{n=1}^\infty m^*(E_n).
  • הזזה: בהנתן קבוצה E ו־x_0\in\mathbb R הקבוצה x_0+E=E+x_0 היא הזזה שלה ומוגדרת כ־\{x_0+x:\ x\in E\}.
  • שמירות תחת הזזה: \forall x_0\in\mathbb R\ \and\ E\subseteq\mathbb R:\ m^*(x_0+E)=m^*(E).
  • לא קיימת מידה m על \mathbb R המקיימת את כל התכונות הבאות:
    1. m(E) קיימת לכל E\subseteq\mathbb R ומקיימת 0\le m(E)\le\infty.
    2. לכל קטע E\subseteq\mathbb R, m(E)=|E|.
    3. m שמורה תחת הזזה.
    4. אם E=\biguplus_{n=1}^\infty E_n אזי m(E)=\sum_{n=1}^\infty m(E_n).
  • קבוצה מדידה: תהי E\subseteq\mathbb R. היא תקרא "מדידה" או "מדידה לבג" אם \forall A\subseteq\mathbb R:\ m^*(A)=m^*(A\cap E)+m^*(A\setminus E).
  • אם E,F מדידות וזרות אזי m^*(E\uplus F)=m^*(E)+m^*(F).
  • E מדידה אם״ם E^\complement מדידה.
  • E מדידה אם״ם \forall A\subseteq\mathbb R:\ m^*(A)\ge m^*(A\cap E)+m^*(A\setminus E).
  • אם m^*(E)=0 אזי E מדידה.
  • אם E מדידה אזי לכל x_0\in\mathbb R, גם x_0+E מדידה.
  • כל קטע מהצורה (a,\infty) (a\in\mathbb R) מדיד.
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=תקציר_אנליזה_מודרנית_1,_סמסטר_א_תשע״ג&oldid=27882