הבדלים בין גרסאות בדף "תרגול 11 תשעז"

גרסה מ־09:40, 22 בינואר 2017

המשך יחסי שקילות

הגדרה: תהא A קבוצה. חלוקה של A היא חלוקה של A לקבוצות זרות. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות $\{A_i\}_{i\in I}$ כך ש:

$\forall i\in I: A_i \neq \emptyset$
$\cup _{i\in I} A_i =A$ כלומר האיחוד של כל תתי הקבוצות שווה לקבוצה כולה
הקבוצות $A_i$ הן זרות זו לו = החיתוך בין כל שתי תתי קבוצות הוא ריק ( $\forall i\not= j\in I : A_i\cap A_j = \phi$ )

הגדרה:

יהא R יחס שקילות על A אזי

לכל $x\in A$ מוגדרת מחלקת השקילות של x להיות $\bar{x}=[x]_R:=\{y\in A | (x,y)\in R\}$
קבוצת המנה מוגדרת $A/R := \{ [x]_R | x\in A\}$

למשל בדוגמא משבוע שעבר על השלמים עם היחס $x~y\iff 3|x-y$ , מחלקת השקילות של 0 היא $[0]_R=\{ 0 \pm 3 \pm 6 \dots \}$ וקבוצת המנה היא $\mathbb{Z}/R= \{[0]_R,[1]_R,[2]_R\}$ (כלומר כל השאריות האפשריות בחלוקה ב-3).

משפט: יהא R יחס שקילות על A אזי

לכל $x,y\in A$ מתקיים $[x]=[y]$ או $[x]\cap [y] =\phi$ (כלומר מחלקות השקילות זרות)
$A=\bigcup_{[x]\in A/R}[x]$ כלומר (איחוד מחלקות השקילות תתן את כל A)

הערה: זה בדיוק אומר שמיחס שקילות ניתן להגיע לחלוקה של A

מסקנה: תהא A קבוצה אזי יש התאמה { $R$ יחס שקילות על A } $\leftrightarrow$ {חלוקות של A}

חידוד: מהותו העיקרית של יחס שקילויות הוא לשים לב לשקילות מסוימת בין אברים שונים (כמו שיוויון) ולצמצם את החזרות המיותרות על ידי קיבוץ כל האיברים השקולים לקבוצה אחת.

שאלה ממבחן

א. תהי A קבוצה לא ריקה ותהי $\{R_i\}_{i\in I}$ משפחה של יחסי שקילות על A. הוכיחו כי החיתוך הכללי $R=\cap_{i\in I}R_i$ הינו יחס שקילויות על A.

ב. נסמן $R_n=\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}:n|(x-y)\}$ . מהם $R_1,R_2,R=\cap_{n\in\mathbb{N}}R_n$ ? מהן קבוצות המנה $\mathbb{Z}/R,\mathbb{Z}/R_1,\mathbb{Z}/R_2$ ?

פתרון

א. רפלקסיביות: מאחר ו $\forall a\in A\forall i\in I : (a,a)\in R_i$ נובע ש $\forall a\in A: (a,a)\in R$ .

סימטריות: נניח $(x,y)\in R$ לכן $\forall i\in I:(x,y)\in R_i$ ולכן נובע מסמטריות היחסים ש $\forall i\in I:(y,x)\in R_i$ ולכן $(y,x)\in R$ .

טרנזיטיביות: ממש אותו דבר...

ב. $R_1$ הינו אוסף כל הזוגות הסדורים מעל השלמים, שכן אחד מחלק כל מספר ולכן כל הפרש.

$R_2$ הינו אוסף כל הזוגות בהם שני הצדדים זוגיים או שני הצדדים אי זוגיים, שכן ההפרש בינהם חייב להיות זוגי.

R הינו אוסף הזוגות שההפרש בינהם מתחלק בכל המספרים הטבעיים. רק הפרש אפס יכול להתחלק בכל מספר, ולכן R הינו אוסף הזוגות מהצורה (q,q) עבור q מספר שלם. (יחס השיוויון.)

$\mathbb{Z}/R_1$ הינו אוסף מחלקות השקילות של היחס המכיל את כל הזוגות. יש בו רק מחלקת שקילות אחת המכילה את כל המספרים השלמים.

$\mathbb{Z}/R_2$ מכיל שתי קבוצות, קבוצת הזוגיים וקבוצת האי זוגיים שכן בין כל הזוגיים יש את היחס, ובין כל האי זוגיים ולא בין לבין כמובן (הרי זה יחס שקילויות כפי שקל להוכיח).

$\mathbb{Z}/R$ הינו אוסף כל הקבוצות המכילות איבר שלם בודד.

גרסה מ־09:39, 22 בינואר 2017 (הצגת מקור) Relweiz (שיחה \| תרומות) (יצירת דף עם התוכן "==המשך יחסי שקילות== הגדרה: תהא A קבוצה. '''חלוקה''' של A היא חלוקה של A לקבוצות זרות. באופן פור...")		גרסה מ־09:40, 22 בינואר 2017 (הצגת מקור) Relweiz (שיחה \| תרומות) (←‏פתרון) מעבר להשוואת הגרסאות הבאה ←
שורה 44:		שורה 44:

	טרנזיטיביות: ממש אותו דבר...		טרנזיטיביות: ממש אותו דבר...
−
−

הבדלים בין גרסאות בדף "תרגול 11 תשעז"

גרסה מ־09:40, 22 בינואר 2017

המשך יחסי שקילות

שאלה ממבחן

פתרון

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים