גרסה מ־18:36, 23 בנובמבר 2017

תוכן עניינים

1 המשך קבוצות

המשך קבוצות

תרגיל

הוכיחו כי $A\cap (B\setminus C)=(A\cap B) \setminus (A\cap C)$ .

פתרון

דרך גרירות לוגיות:

$x\in A\cap (B\setminus C) \iff$ $(x\in A) \and [(x\in B) \and (x\notin C)] \iff$ $[(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin C)] \or [(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin A)]$

בשורה האחרונה הוספנו סתירה בעזרת הקשר "או" ולכן נשארנו עם ביטוי שקול. כעת נשתמש בחוק הפילוג של הלוגיקה:

$\iff [(x\in A) \and (x\in B)]\and [(x\notin C)\or(x\notin A)]\iff$ $[(x\in A) \and (x\in B)]\and \neg [(x\in C)\and(x\in A)]$

וזה בדיוק מה שרצינו.

הוכחה נוספת בעזרת הכלה דו כיוונית:

בכיוון ( $\subseteq$ ) נניח $x\in A\cap(B\backslash C)$ אזי

$x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Leftarrow$

$x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Leftarrow$

$x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C)$

בכיוון ( $\supseteq$ ) נניח $x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C)$ אזי

$x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Leftarrow$

$x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Leftarrow$

(כי אם $x\in C$ אזי $x\in A\cap C$ סתירה)

$x\in A\cap(B\backslash C)\Leftarrow$

משלים

הגדרה: תהי קבוצה $U$ , ונביט בתת קבוצה שלה $A$ . ניתן להגדיר את המשלים של $A$ כאוסף האיברים ב- $U$ שאינם ב- $A$ (כלומר ההפרש $U\setminus A$ ), המסומן $A^c$ . לא ניתן לדבר על משלים אוניברסלי ללא $U$ מכיוון שאין קבוצה המכילה את כל הדברים בעולם (אחרת נגיע לסתירות כמו פרדוקס ראסל).

תכונות בסיסיות:

$A\cup A^c = U$
$\varnothing^c = U$
$U^c = \varnothing$
$(A^c)^c = A$

על המשלימים מתקיימים חוקי דה מורגן (הנובעים ישירות מחוקי דה מורגן בלוגיקה):

$(A\cap B)^c = A^c \cup B^c$
$(A\cup B)^c = A^c \cap B^c$

הערה: באופן כללי מתקיים

$(\bigcap _{i\in I} A_i)^c = \bigcup _{i\in I} A_{i}^c$
$(\bigcup _{i\in I} A_i)^c = \bigcap _{i\in I} A_{i}^c$

קבוצת החזקה

הגדרה: תהי קבוצה $A$ . נגדיר את קבוצת החזקה של $A$ בתור אוסף כל תת הקבוצות של $A$ . נסמן $P(A)=\{X:X\subseteq A\}$ .

דוגמה: נבחר $A=\{1,2\}$ אזי $P(A)=\{\{\},\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$ .

האם אתם יכולים למנות כמה איברים יש בקבוצת החזקה? הוכיחו זאת באינדוקציה.

תרגיל ממבחן

תהינה $A,B,C$ קבוצות. הוכיחו או הפריכו:

א. אם $A \not\subseteq B \cap C$ אזי $(A\setminus B)\cap(A\setminus C)\neq \varnothing$

ב. אם $A\subseteq B$ אזי $A\cup (B\setminus A)=B$

ג. אם $A\cap B=\varnothing$ אזי $P(A)\cap P(B) = \{\varnothing\}$

פתרון

א. הפרכה: $A=\{1,2\},B=\{1\},C=\{2\}$ . אזי ברור ש- $A$ איננה מוכלת בחיתוך $B\cap C$ אבל $(A\setminus B)\cap(A\setminus C)=\{2\}\cap\{1\}=\varnothing$

ב. נתון שלכל $a\in A$ מתקיים $a \in B$ . אזי

$x\in [A\cup(B/A)] \iff (x\in A) \or [(x\in B)\and (x\notin A)] \iff [(x\in A) \or (x\in B)] \and [(x \in A)\or (x\notin A)]$

כעת, הצד הימני הוא טאוטולוגיה וניתן להסיר אותו. מכיוון שנתון $(x\in A)\rightarrow (x\in B)$ ניתן להסיק בקלות ש $(x\in A)\or (x\in B) \iff (x\in B)$ כפי שרצינו.

דרך נוספת: נגדיר את B להיות הקבוצה האוניברסאלית $U:=B$ ואז צריך להוכיח כי $A\cup A^c =U$ וזה אכן נכון!

ג. נניח בשלילה ש $P(A)\cap P(B)\neq \{\varnothing\}$ . מכיוון שהקבוצה הריקה שייכת לכל קבוצת חזקה החיתוך אינו ריק. לכן לפי הנחת השלילה קיימת קבוצה לא ריקה $\varnothing \not=C$ השייכת לחיתוך $P(A)\cap P(B)$ . קבוצות החזקה הן אוסף תת הקבוצות, ולכן $C\subseteq A \and C\subseteq B$ . מכיוון שC אינה ריקה קיים בה איבר $\exists c\in C$ וקל מאד לראות ש $(c\in A)\and (c\in B)$ ולכן c מוכל בחיתוך בסתירה לכך שהחיתוך ריק.

@@ שורה 9: / שורה 9: @@
 דרך גרירות לוגיות:
-<math>x\in A\cap (B\setminus C)\iff (x\in A) \and [(x\in B) \and (x\notin C)]\iff [(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin C)] \or [(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin A)] </math>
+<math>x\in A\cap (B\setminus C) \iff</math>
+<math>(x\in A) \and [(x\in B) \and (x\notin C)] \iff</math>
+<math>[(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin C)] \or [(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin A)] </math>
+בשורה האחרונה הוספנו סתירה בעזרת הקשר "או" ולכן נשארנו עם ביטוי שקול. כעת נשתמש בחוק הפילוג של הלוגיקה:
-בצד הימני הוספנו סתירה בעזרת הקשר "או" ולכן נשארנו עם ביטוי שקול. כעת נשתמש בחוק הפילוג של הלוגיקה:
+<math>\iff [(x\in A) \and (x\in B)]\and [(x\notin C)\or(x\notin A)]\iff</math>
+<math>[(x\in A) \and (x\in B)]\and \neg [(x\in C)\and(x\in A)]</math>
-<math>\iff [(x\in A) \and (x\in B)]\and [(x\notin C)\or(x\notin A)]\iff [(x\in A) \and (x\in B)]\and \neg [(x\in C)\and(x\in A)] </math>
 וזה בדיוק מה שרצינו.
+הוכחה נוספת בעזרת הכלה דו כיוונית:
-הוכחה בעזרת הכלה דו כיוונית:
 בכיוון (<math>\subseteq</math>) נניח <math>x\in A\cap(B\backslash C)</math> אזי
 <math>x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Leftarrow</math>
 <math>x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Leftarrow</math>
 <math>x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C)</math>
@@ שורה 32: / שורה 33: @@
 <math>x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Leftarrow</math>
 <math>x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Leftarrow </math>
 (כי אם <math>x\in C</math> אזי <math>x\in A\cap C</math> סתירה)
 <math>x\in A\cap(B\backslash  C)\Leftarrow </math>
-=== משלים ===
+== משלים ==
 '''הגדרה''': תהי קבוצה <math>U</math>, ונביט בתת קבוצה שלה <math>A</math>. ניתן להגדיר את ה'''משלים''' של <math>A</math> כאוסף האיברים ב-<math>U</math> שאינם ב-<math>A</math> (כלומר ההפרש <math>U\setminus A</math>), המסומן <math>A^c</math>. לא ניתן לדבר על משלים אוניברסלי ללא <math>U</math> מכיוון שאין קבוצה המכילה את כל הדברים בעולם (אחרת נגיע לסתירות כמו פרדוקס ראסל).
@@ שורה 53: / שורה 57: @@
 * <math>(\bigcup _{i\in I} A_i)^c = \bigcap _{i\in I} A_{i}^c </math>
+==קבוצת החזקה==
 '''הגדרה''': תהי קבוצה <math>A</math>. נגדיר את '''קבוצת החזקה''' של <math>A</math> בתור אוסף כל תת הקבוצות של <math>A</math>. נסמן <math>P(A)=\{X:X\subseteq A\}</math>.
-דוגמה:
+דוגמה: נבחר <math>A=\{1,2\}</math> אזי
+<math>P(A)=\{\{\},\{1\},\{2\},\{1,2\}\}</math>.
-<math>A=\{1,2\}</math> אזי <math>P(A)=\{\{\},\{1\},\{2\},\{1,2\}\}</math>.
+האם אתם יכולים למנות כמה איברים יש בקבוצת החזקה? הוכיחו זאת באינדוקציה.
-האם אתם יכולים למנות כמה איברים יש בקבוצת החזקה?
+===תרגיל ממבחן===
+תהינה <math>A,B,C</math> קבוצות. הוכיחו או הפריכו:
-==תרגיל ממבחן==
-יהיו A,B,C קבוצות. הוכיחו/הפריכו:
 א. אם <math>A \not\subseteq B \cap C</math> אזי <math>(A\setminus B)\cap(A\setminus C)\neq \varnothing</math>
@@ שורה 73: / שורה 77: @@
 ===פתרון===
-א. '''הפרכה''': <math>A=\{1,2\},B=\{1\},C=\{2\}</math>. אזי ברור שA איננה מוכלת בחיתוך של B וC אבל <math>(A\setminus B)\cap(A\setminus C)=\{2\}\cap\{1\}=\varnothing</math>
+א. '''הפרכה''': <math>A=\{1,2\},B=\{1\},C=\{2\}</math>. אזי ברור ש-<math>A</math> איננה מוכלת בחיתוך <math>B\cap C</math> אבל <math>(A\setminus B)\cap(A\setminus C)=\{2\}\cap\{1\}=\varnothing</math>
-ב. נתון שלכל <math>a\in A</math> מתקיים <math>a \in B</math>. אזי  <math>x\in [A\cup(B/A)] \iff (x\in A) \or [(x\in B)\and (x\notin A)] \iff [(x\in A) \or (x\in B)] \and [(x \in A)\or (x\notin A)]  </math>
+ב. נתון שלכל <math>a\in A</math> מתקיים <math>a \in B</math>. אזי
+<math>x\in [A\cup(B/A)] \iff (x\in A) \or [(x\in B)\and (x\notin A)] \iff [(x\in A) \or (x\in B)] \and [(x \in A)\or (x\notin A)]  </math>
 כעת, הצד הימני הוא טאוטולוגיה וניתן להסיר אותו. מכיוון שנתון <math>(x\in A)\rightarrow (x\in B)</math> ניתן להסיק בקלות ש<math>(x\in A)\or (x\in B) \iff (x\in B)</math> כפי שרצינו.

הבדלים בין גרסאות בדף "תרגול 6 תשעז"

גרסה מ־18:36, 23 בנובמבר 2017

תוכן עניינים

המשך קבוצות

תרגיל

פתרון

משלים

קבוצת החזקה

תרגיל ממבחן

פתרון

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים