הבדלים בין גרסאות בדף "תרגול 6 תשעז"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
שורה 3: שורה 3:
 
=המשך קבוצות=
 
=המשך קבוצות=
  
−
==תרגיל==
+
===תרגיל===
 
הוכיחו כי <math>A\cap (B\setminus C)=(A\cap B) \setminus  (A\cap C)</math>.
 
הוכיחו כי <math>A\cap (B\setminus C)=(A\cap B) \setminus  (A\cap C)</math>.
  
שורה 22: שורה 22:
 
הוכחה נוספת בעזרת הכלה דו כיוונית:
 
הוכחה נוספת בעזרת הכלה דו כיוונית:
  
−
בכיוון (<math>\subseteq</math>) נניח <math>x\in A\cap(B\backslash C)</math> אזי
+
בכיוון (<math>\subseteq</math>) נניח <math>x\in A\cap(B\backslash C)</math>, ולכן
  
−
<math>x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Leftarrow</math>
+
<math>x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Rightarrow</math>
  
−
<math>x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Leftarrow</math>
+
<math>x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Rightarrow</math>
  
 
<math>x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C)</math>
 
<math>x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C)</math>
  
−
בכיוון (<math>\supseteq</math>) נניח <math>x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C)</math> אזי
+
בכיוון (<math>\supseteq</math>) נניח <math>x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C)</math>. לכן
  
−
<math>x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Leftarrow</math>
+
<math>x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Rightarrow</math>
  
−
<math>x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Leftarrow </math>
+
<math>x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Rightarrow</math>
  
−
(כי אם <math>x\in C</math> אזי <math>x\in A\cap C</math> סתירה)
+
(כי אם <math>x\in C</math> אז <math>x\in A\cap C</math> סתירה)
  
−
<math>x\in A\cap(B\backslash  C)\Leftarrow </math>
+
<math>x\in A\cap(B\backslash  C)</math>
  
 
== משלים ==
 
== משלים ==
שורה 56: שורה 56:
 
* <math>(\bigcap _{i\in I} A_i)^c = \bigcup _{i\in I} A_{i}^c </math>
 
* <math>(\bigcap _{i\in I} A_i)^c = \bigcup _{i\in I} A_{i}^c </math>
 
* <math>(\bigcup _{i\in I} A_i)^c = \bigcap _{i\in I} A_{i}^c </math>
 
* <math>(\bigcup _{i\in I} A_i)^c = \bigcap _{i\in I} A_{i}^c </math>
 +
 +
===תרגיל===
 +
 +
הוכיחו כי <math>A \triangle B = A^c \triangle B^c</math>.
 +
 +
===פתרון===
 +
 +
נשתמש בהצגת ההפרש הסימטרי כאיחוד ההפרשים:
 +
 +
<math>x\in A \triangle B \iff (x\in A \land x\notin B)\lor (x\in B \land x\notin A) \iff</math>
 +
 +
<math>(x\notin A^c \land x\in B^c)\lor (x\notin B^c \land x\in A^c)</math> ומחילופיות "וגם" ו"או":
 +
 +
<math>(x\notin B^c \land x\in A^c)\lor (x\notin A^c \land x\in B^c) \iff</math>
 +
<math>(x\in A^c \land x\notin B^c)\lor (x\in B^c \land x\notin A^c) \iff x\in A^c \triangle B^c</math>
  
 
==קבוצת החזקה==
 
==קבוצת החזקה==
שורה 74: שורה 89:
  
 
ג. אם <math>A\cap B=\varnothing</math> אזי <math>P(A)\cap P(B) = \{\varnothing\}</math>
 
ג. אם <math>A\cap B=\varnothing</math> אזי <math>P(A)\cap P(B) = \{\varnothing\}</math>
−
 
  
 
===פתרון===
 
===פתרון===
−
א. '''הפרכה''': <math>A=\{1,2\},B=\{1\},C=\{2\}</math>. אזי ברור ש-<math>A</math> איננה מוכלת בחיתוך <math>B\cap C</math> אבל <math>(A\setminus B)\cap(A\setminus C)=\{2\}\cap\{1\}=\varnothing</math>
+
א. '''הפרכה''': <math>A=\{1,2\},B=\{1\},C=\{2\}</math>. אזי ברור ש-<math>A</math> איננה מוכלת בחיתוך <math>B\cap C</math> אבל <math>(A\setminus B)\cap(A\setminus C)=\{2\}\cap\{1\}=\varnothing</math>.
  
 
ב. נתון שלכל <math>a\in A</math> מתקיים <math>a \in B</math>. אזי
 
ב. נתון שלכל <math>a\in A</math> מתקיים <math>a \in B</math>. אזי
  
−
<math>x\in [A\cup(B/A)] \iff (x\in A) \or [(x\in B)\and (x\notin A)] \iff [(x\in A) \or (x\in B)] \and [(x \in A)\or (x\notin A)]  </math>
+
<math>x\in [A\cup(B\setminus A)] \iff (x\in A) \or [(x\in B)\and (x\notin A)] \iff</math>
  
−
כעת, הצד הימני הוא טאוטולוגיה וניתן להסיר אותו. מכיוון שנתון <math>(x\in A)\rightarrow (x\in B)</math> ניתן להסיק בקלות ש<math>(x\in A)\or (x\in B) \iff (x\in B)</math> כפי שרצינו.
+
<math>[(x\in A) \or (x\in B)] \and [(x \in A)\or (x\notin A)] </math>
  
−
דרך נוספת: נגדיר את B להיות הקבוצה האוניברסאלית <math>U:=B</math> ואז צריך להוכיח כי
+
כעת, הצד הימני הוא טאוטולוגיה וניתן להסיר אותו. מכיוון שנתון <math>(x\in A)\rightarrow (x\in B)</math> ניתן להסיק בקלות ש-<math>(x\in A)\or (x\in B) \iff (x\in B)</math>, כפי שרצינו.
−
<math>A\cup A^c =U</math> וזה אכן נכון!
+
  
 +
דרך נוספת: נגדיר את <math>B</math> להיות הקבוצה האוניברסאלית <math>U:=B</math> ואז צריך להוכיח כי
 +
<math>A\cup A^c =U</math> וזה אכן נכון!
  
−
ג. נניח בשלילה ש<math>P(A)\cap P(B)\neq \{\varnothing\}</math>. מכיוון שהקבוצה הריקה שייכת לכל קבוצת חזקה החיתוך אינו ריק. לכן לפי הנחת השלילה קיימת קבוצה לא ריקה <math>\varnothing \not=C</math> השייכת לחיתוך <math>P(A)\cap P(B)</math>. קבוצות החזקה הן אוסף תת הקבוצות, ולכן <math>C\subseteq A \and C\subseteq B</math>. מכיוון שC אינה ריקה קיים בה איבר <math>\exists c\in C</math> וקל מאד לראות ש<math>(c\in A)\and (c\in B) </math> ולכן c מוכל בחיתוך בסתירה לכך שהחיתוך ריק.
+
ג. נניח בשלילה ש-<math>P(A)\cap P(B)\neq \{\varnothing\}</math>. מכיוון שהקבוצה הריקה שייכת לכל קבוצת חזקה, החיתוך אינו ריק. לכן לפי הנחת השלילה קיימת קבוצה לא ריקה <math>C \ne\varnothing</math> השייכת לחיתוך <math>P(A)\cap P(B)</math>. קבוצות החזקה הן אוסף תת הקבוצות, ולכן <math>C\subseteq A \and C\subseteq B</math>. מכיוון ש-<math>C</math> אינה ריקה קיים בה איבר <math>c\in C</math> וקל לראות ש-<math>(c\in A)\and (c\in B) </math> ולכן <math>c</math> מוכל בחיתוך, בסתירה לכך שהחיתוך ריק.

גרסה מ־19:22, 23 בנובמבר 2017

חזרה לדף מערכי התרגול.

המשך קבוצות

תרגיל

הוכיחו כי A\cap (B\setminus C)=(A\cap B) \setminus (A\cap C).

פתרון

דרך גרירות לוגיות:

x\in A\cap (B\setminus C) \iff (x\in A) \and [(x\in B) \and (x\notin C)] \iff [(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin C)] \or [(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin A)]

בשורה האחרונה הוספנו סתירה בעזרת הקשר "או" ולכן נשארנו עם ביטוי שקול. כעת נשתמש בחוק הפילוג של הלוגיקה:

\iff [(x\in A) \and (x\in B)]\and [(x\notin C)\or(x\notin A)]\iff [(x\in A) \and (x\in B)]\and \neg [(x\in C)\and(x\in A)]

וזה בדיוק מה שרצינו.

הוכחה נוספת בעזרת הכלה דו כיוונית:

בכיוון (\subseteq) נניח x\in A\cap(B\backslash C), ולכן

x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Rightarrow

x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Rightarrow

x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C)

בכיוון (\supseteq) נניח x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C). לכן

x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Rightarrow

x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Rightarrow

(כי אם x\in C אז x\in A\cap C סתירה)

x\in A\cap(B\backslash C)

משלים

הגדרה: תהי קבוצה U, ונביט בתת קבוצה שלה A. ניתן להגדיר את המשלים של A כאוסף האיברים ב-U שאינם ב-A (כלומר ההפרש U\setminus A), המסומן A^c. לא ניתן לדבר על משלים אוניברסלי ללא U מכיוון שאין קבוצה המכילה את כל הדברים בעולם (אחרת נגיע לסתירות כמו פרדוקס ראסל).

תכונות בסיסיות:

  • A\cup A^c = U
  • \varnothing^c = U
  • U^c = \varnothing
  • (A^c)^c = A

על המשלימים מתקיימים חוקי דה מורגן (הנובעים ישירות מחוקי דה מורגן בלוגיקה):

  • (A\cap B)^c = A^c \cup B^c
  • (A\cup B)^c = A^c \cap B^c

הערה: באופן כללי מתקיים

  • (\bigcap _{i\in I} A_i)^c = \bigcup _{i\in I} A_{i}^c
  • (\bigcup _{i\in I} A_i)^c = \bigcap _{i\in I} A_{i}^c

תרגיל

הוכיחו כי A \triangle B = A^c \triangle B^c.

פתרון

נשתמש בהצגת ההפרש הסימטרי כאיחוד ההפרשים:

x\in A \triangle B \iff (x\in A \land x\notin B)\lor (x\in B \land x\notin A) \iff

(x\notin A^c \land x\in B^c)\lor (x\notin B^c \land x\in A^c) ומחילופיות "וגם" ו"או":

(x\notin B^c \land x\in A^c)\lor (x\notin A^c \land x\in B^c) \iff (x\in A^c \land x\notin B^c)\lor (x\in B^c \land x\notin A^c) \iff x\in A^c \triangle B^c

קבוצת החזקה

הגדרה: תהי קבוצה A. נגדיר את קבוצת החזקה של A בתור אוסף כל תת הקבוצות של A. נסמן P(A)=\{X:X\subseteq A\}.

דוגמה: נבחר A=\{1,2\} אזי P(A)=\{\{\},\{1\},\{2\},\{1,2\}\}.

האם אתם יכולים למנות כמה איברים יש בקבוצת החזקה? הוכיחו זאת באינדוקציה.

תרגיל ממבחן

תהינה A,B,C קבוצות. הוכיחו או הפריכו:

א. אם A \not\subseteq B \cap C אזי (A\setminus B)\cap(A\setminus C)\neq \varnothing

ב. אם A\subseteq B אזי A\cup (B\setminus A)=B

ג. אם A\cap B=\varnothing אזי P(A)\cap P(B) = \{\varnothing\}

פתרון

א. הפרכה: A=\{1,2\},B=\{1\},C=\{2\}. אזי ברור ש-A איננה מוכלת בחיתוך B\cap C אבל (A\setminus B)\cap(A\setminus C)=\{2\}\cap\{1\}=\varnothing.

ב. נתון שלכל a\in A מתקיים a \in B. אזי

x\in [A\cup(B\setminus A)] \iff (x\in A) \or [(x\in B)\and (x\notin A)] \iff

[(x\in A) \or (x\in B)] \and [(x \in A)\or (x\notin A)]

כעת, הצד הימני הוא טאוטולוגיה וניתן להסיר אותו. מכיוון שנתון (x\in A)\rightarrow (x\in B) ניתן להסיק בקלות ש-(x\in A)\or (x\in B) \iff (x\in B), כפי שרצינו.

דרך נוספת: נגדיר את B להיות הקבוצה האוניברסאלית U:=B ואז צריך להוכיח כי A\cup A^c =U וזה אכן נכון!

ג. נניח בשלילה ש-P(A)\cap P(B)\neq \{\varnothing\}. מכיוון שהקבוצה הריקה שייכת לכל קבוצת חזקה, החיתוך אינו ריק. לכן לפי הנחת השלילה קיימת קבוצה לא ריקה C \ne\varnothing השייכת לחיתוך P(A)\cap P(B). קבוצות החזקה הן אוסף תת הקבוצות, ולכן C\subseteq A \and C\subseteq B. מכיוון ש-C אינה ריקה קיים בה איבר c\in C וקל לראות ש-(c\in A)\and (c\in B) ולכן c מוכל בחיתוך, בסתירה לכך שהחיתוך ריק.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=תרגול_6_תשעז&oldid=73405