הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/3"

גרסה מ־21:11, 4 בינואר 2012

נשים לב כי שני שליש מאיברי המכפלה $1\cdot 2\cdot 3 \cdots n$ גדולים מהמספר $\frac{n}{3}$ . נובע מכך כי:

(n!)^2\geq (\frac{n}{3})^{\frac{4n}{3}}

ולכן

\frac{1}{\sqrt[n]{(n!)^2}}\leq \frac{1}{\sqrt[n]{(\frac{n}{3})^{\frac{4n}{3}}}}

אבל קל לראות כי הטורים הבאים חברים (לפי מבחן ההשוואה הגבולי)

\sum\frac{1}{\sqrt[n]{(\frac{n}{3})^{\frac{4n}{3}}}}

\sum\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}

(ידוע כי טור זה מתכנס)

וביחד הטור מתכנס לפי מבחן ההשוואה הראשון.

@@ שורה 2: / שורה 2: @@
 *<math>\sum\frac{1}{\sqrt[n]{(n!)^2}}</math>
+נשים לב כי '''שני שליש''' מאיברי המכפלה <math>1\cdot 2\cdot 3 \cdots n</math> גדולים מהמספר <math>\frac{n}{3}</math>. נובע מכך כי:
+::<math>(n!)^2\geq (\frac{n}{3})^{\frac{4n}{3}}</math>
+ולכן
+::<math>\frac{1}{\sqrt[n]{(n!)^2}}\leq \frac{1}{\sqrt[n]{(\frac{n}{3})^{\frac{4n}{3}}}}</math>
+אבל קל לראות כי הטורים הבאים חברים (לפי '''מבחן ההשוואה הגבולי''')
+::<math>\sum\frac{1}{\sqrt[n]{(\frac{n}{3})^{\frac{4n}{3}}}}</math>
+::<math>\sum\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}</math> (ידוע כי טור זה מתכנס)
+וביחד הטור '''מתכנס''' לפי '''מבחן ההשוואה הראשון'''.