הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/3"

גרסה מ־09:09, 4 באפריל 2012

חזרה לדוגמאות

$\sum\frac{1}{\sqrt[n]{(n!)^2}}$

פתרון

נשים לב כי $\lim\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$

ולכן $\lim\frac{n^2}{\sqrt[n]{n!}^2}=e^2$

ולכן הטור חבר של $\sum\frac{1}{n^2}$ ולכן מתכנס.

פתרון ישן

נשים לב כי לפחות שני שלישים מאיברי המכפלה $1\cdot 2\cdot 3 \cdots n$ גדולים מהמספר $\frac{n}{3}$ .

נקטין את כל האיברים במכפלה שגדולים מ $\frac{n}{3}$ , ומכיוון שיש לפחות $\frac{2}{3}n$ כאלה נקבל ש

$n!=1*2*..*\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor *(\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor +1)*...*n \geq 1*2*..*\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor*(\frac{n}{3})^{(\frac{2}{3}n)}$

(נניח $n>2$ , קל לבדוק את $n=1,2$ )

נעלה בריבוע ונקבל ש-

(n!)^2\geq (\frac{n}{3})^{\frac{4n}{3}}

ולכן

\frac{1}{\sqrt[n]{(n!)^2}}\leq \frac{1}{\sqrt[n]{(\frac{n}{3})^{\frac{4n}{3}}}}

אבל קל לראות כי הטורים הבאים חברים (לפי מבחן ההשוואה הגבולי)

\sum\frac{1}{\sqrt[n]{(\frac{n}{3})^{\frac{4n}{3}}}}

\sum\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}

(ידוע כי טור זה מתכנס)

וביחד הטור מתכנס לפי מבחן ההשוואה הראשון.

@@ שורה 3: / שורה 3: @@
 *<math>\sum\frac{1}{\sqrt[n]{(n!)^2}}</math>
+'''פתרון'''
+נשים לב כי <math>\lim\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e</math>
+ולכן <math>\lim\frac{n^2}{\sqrt[n]{n!}^2}=e^2</math>
+ולכן הטור חבר של <math>\sum\frac{1}{n^2}</math> ולכן מתכנס.
+'''פתרון ישן'''
 נשים לב כי לפחות '''שני שלישים''' מאיברי המכפלה <math>1\cdot 2\cdot 3 \cdots n</math> גדולים מהמספר <math>\frac{n}{3}</math>.

הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/3"

גרסה מ־09:09, 4 באפריל 2012

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים