הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/מונוטוניות"

גרסה מ־07:30, 3 בנובמבר 2011

הגדרה. סדרה נקראת מונוטונית עולה (יורדת) אם כל איבר בה גדול שווה לקודמו (קטן שווה לקודמו)

דוגמאות.

משפט. סדרה מונוטונית וגם חסומה מתכנסת. סדרה מונוטונית שאינה חסומה, מתכנסת במובן הרחב.

תרגיל.

הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת $a_n=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{3n}$

פתרון. נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל n מתקיים $a_{n+1}-a_n\leq 0$ ולכן הסדרה מונוטונית יורדת.

a_{n+1}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+3}

a_{n+1}-a_n=\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{n}\leq \frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}-\frac{1}{n}=0

לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על ידי אפס, ולכן הסדרה מתכנסת.

תרגיל.

יהיו $\alpha,\beta>0$ ונגדיר $a_1=\alpha,b_1=\beta$ . כעת, נגדיר סדרות באמצעות נוסחאת הנסיגה (כלומר כל איבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו):

a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}

b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}

@@ שורה 28: / שורה 28: @@
 ::<math>a_{n+1}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+3}</math>
 ::<math>a_{n+1}-a_n=\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{n}\leq \frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}-\frac{1}{n}=0</math>
@@ שורה 33: / שורה 34: @@
 לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על ידי אפס, ולכן הסדרה מתכנסת.
+<font size=4 color=#a7adcd>
+'''תרגיל.'''
+</font>
+יהיו <math>\alpha,\beta>0</math> ונגדיר <math>a_1=\alpha,b_1=\beta</math>. כעת, נגדיר סדרות באמצעות '''נוסחאת הנסיגה''' (כלומר כל איבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו):
+::<math>a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}</math>
+::<math>b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}</math>