הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/מונוטוניות"

גרסה מ־07:42, 3 בנובמבר 2011

חזרה לסדרות

סדרות מונוטוניות

הגדרה. סדרה נקראת מונוטונית עולה (יורדת) אם כל איבר בה גדול שווה לקודמו (קטן שווה לקודמו)

דוגמאות.

$1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30,...$

$0,0.9,0.99,0.999,...$

$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...$

משפט. סדרה מונוטונית וגם חסומה מתכנסת. סדרה מונוטונית שאינה חסומה, מתכנסת במובן הרחב.

תרגיל.

הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת $a_n=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{3n}$

פתרון. נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל n מתקיים $a_{n+1}-a_n\leq 0$ ולכן הסדרה מונוטונית יורדת.

a_{n+1}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+3}

a_{n+1}-a_n=\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{n}\leq \frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}-\frac{1}{n}=0

לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על ידי אפס, ולכן הסדרה מתכנסת.

תרגיל.

יהיו $\alpha,\beta>0$ ונגדיר $a_1=\alpha,b_1=\beta$ . כעת, נגדיר סדרות באמצעות נוסחאת הנסיגה (כלומר כל איבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו):

a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}

b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}

הוכיח כי שתי הסדרות מתכנסות.

פתרון. אנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי איברי הסדרה $a_n$ גדולים בהתאמה מאיברה הסדרה $b_n$ (פרט אולי לאיבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאיברים הראשונים, כל איברי הסדרות הינם אי שליליים.

a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_nb_n}=\frac{1}{2}(a_n-2\sqrt{a_nb_n}+b_n)=\frac{(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n})^2}{2}\geq 0

אם כך, מתקיים כי

a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\leq\frac{a_n+a_n}{2}=a_n

ולכן $a_n$ מונוטונית יורדת. כמו כן

b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\geq\sqrt{b_n\cdot b_n}=b_n

ולכן $b_n$ מונוטונית עולה.

נותר להראות כי הסדרות חסומות. נשים לב כי מתקיים:

b_2\leq b_n\leq a_n \leq a_2

ולכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.

@@ שורה 52: / שורה 52: @@
-'''פתרון.''' אנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי איברי הסדרה <math>a_n</math> גדולים בהתאמה מאיברה הסדרה <math>b_n</math>. נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאיברים הראשונים, כל איברי הסדרות הינם '''אי שליליים'''.
+'''פתרון.''' אנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי איברי הסדרה <math>a_n</math> גדולים בהתאמה מאיברה הסדרה <math>b_n</math> (פרט אולי לאיבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאיברים הראשונים, כל איברי הסדרות הינם '''אי שליליים'''.
 ::<math>a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_nb_n}=\frac{1}{2}(a_n-2\sqrt{a_nb_n}+b_n)=\frac{(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n})^2}{2}\geq 0</math>
+אם כך, מתקיים כי
+::<math>a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\leq\frac{a_n+a_n}{2}=a_n</math>
+ולכן <math>a_n</math> מונוטונית יורדת. כמו כן
+::<math>b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\geq\sqrt{b_n\cdot b_n}=b_n</math>
+ולכן <math>b_n</math> מונוטונית עולה.
+נותר להראות כי הסדרות חסומות. נשים לב כי מתקיים:
+::<math>b_2\leq b_n\leq a_n \leq a_2</math> ולכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.

הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/מונוטוניות"

גרסה מ־07:42, 3 בנובמבר 2011

סדרות מונוטוניות

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים