88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/מונוטוניות

חזרה לסדרות

סדרות מונוטוניות

הגדרה. סדרה נקראת מונוטונית עולה (יורדת) אם כל איבר בה גדול שווה לקודמו (קטן שווה לקודמו)

דוגמאות.

• $1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30,...$

• $0,0.9,0.99,0.999,...$

• $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...$

משפט. סדרה מונוטונית וגם חסומה מתכנסת. סדרה מונוטונית שאינה חסומה, מתכנסת במובן הרחב.

תרגיל.

הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת $a_n=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{3n}$

פתרון. נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל n מתקיים $a_{n+1}-a_n\leq 0$ ולכן הסדרה מונוטונית יורדת.

$a_{n+1}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+3}$

$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{n}\leq \frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}-\frac{1}{n}=0$

לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על ידי אפס, ולכן הסדרה מתכנסת.

תרגיל.

יהיו $\alpha,\beta>0$ ונגדיר $a_1=\alpha,b_1=\beta$. כעת, נגדיר סדרות באמצעות נוסחאת הנסיגה (כלומר כל איבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו):

$a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}$

$b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}$

הוכיח כי שתי הסדרות מתכנסות.

פתרון. אנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי איברי הסדרה $a_n$ גדולים בהתאמה מאיברה הסדרה $b_n$ (פרט אולי לאיבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאיברים הראשונים, כל איברי הסדרות הינם אי שליליים.

$a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_nb_n}=\frac{1}{2}(a_n-2\sqrt{a_nb_n}+b_n)=\frac{(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n})^2}{2}\geq 0$

אם כך, מתקיים כי

$a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\leq\frac{a_n+a_n}{2}=a_n$

ולכן $a_n$ מונוטונית יורדת. כמו כן

$b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\geq\sqrt{b_n\cdot b_n}=b_n$

ולכן $b_n$ מונוטונית עולה.

נותר להראות כי הסדרות חסומות. נשים לב כי מתקיים:

$b_2\leq b_n\leq a_n \leq a_2$

ולכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.

תרגיל.

יהי $0<c<1$. נגדיר סדרה על ידי תנאי ההתחלה

$a_1=c$

ונוסחאת הנסיגה

$a_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}$

הוכח כי הסדרה מתכנסת ומצא את גבולה.

פתרון.