88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעה/בוחן 1

תוכן עניינים

תהיינה שתי סדרות $a_n,b_n$ כך ש:

1.

\lim a_n-b_n=0

2.

\lim a_n^2+b_n^2= L\in\mathbb{R}

הוכיחו/הפריכו:

\lim a_n^2-b_n^2= 0

תהי סדרה $a_n$ וקבוע $0<q<1$ כך ש

\forall n\geq 2: |a_{n+1}-a_n|\leq q\cdot|a_n-a_{n-1}|

הוכיחו כי $a_n$ מתכנסת.

(רמז: יש בשאלה הזו קושי)

לכל שתי קבוצות לא ריקות וחסומות מלעיל.

1. הוכיחו/הפריכו:

sup(A\cap B)=min\{sup(A),sup(B)\}

2. הוכיחו/הפריכו:

sup(A\cup B)=max\{sup(A),sup(B)\}

נניח $\lim a_n-b_n=0$ .

הוכיחו/הפריכו:

\overline{\lim}a_n=\overline{\lim}b_n

תהי סדרה המוגדרת ע"י כלל הנסיגה

a_1=1

a_{n+1}=1 + \frac{|a_n|}{2}

הוכיחו כי הסדרה מתכנסת ומצאו את גבולה

קבעו אם הטורים הבאים מתכנסים

\sum_{n=1}^\infty (\sqrt{n^2+n+1}-n)

\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n+(-2)^n}{3^n}