88-212 תשעז סמסטר ב/פתרון3

חזרה לדף הקורס

כאן אפשר לשאול ולענות על תרגיל בית 3 בקורס מבוא לחוגים ומודלים בשנת תשע"ז.

שאלה 4

סעיף 4א

נגדיר $\phi:\mathbb{F}_2[x]\longrightarrow\mathbb{F}_2[x]/_{<x^2>}$ לפי $\phi(x+1)=\phi(x-1)=x$ (השאר ישלח לעצמו). זה הומ' עם גרעין $<x^2-1>$, ולכן לפי איזו' 1 נקבל את הדרוש.

סעיף 4ב

קל לראות שהאידיאלים $<x-1>,<x+1>\vartriangleleft\mathbb{Q}[x]$ הם קו-מקסימליים. ולכן לפי משפט השאריות הסיני: $S=\mathbb{Q}[x]/_{<x^2-1>}\cong\mathbb{Q}[x]/_{<x+1>}\times\mathbb{Q}[x]/_{<x-1>}\cong\mathbb{Q^2}$. ב-S אין איברים נילפוטנטיים אבל ב-R יש ($x^2$), לכן הם לא איזומורפיים.