גרסה מ־12:47, 19 בינואר 2015

הודעות כלליות

ברוכים הבאים לקורס מבנים אלגברים!

לקבוצה של שירה: יתכן והתרגול של 07/01 יתבטל. נא להתעדכן!

השלמה לשיעור תרגיל בקבוצה 05 מיום כ"ח טבת (19 ינו')

תרגיל. תהי $G$ חבורה מסדר $p^2$ ( $p$ ראשוני). הראו כי $|Z(G)|\neq p$ .

פתרון. נניח בשלילה כי $|Z(G)|=p$ . מכיוון שזו חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית, כלומר קיים $a \in Z(G)$ שיקיים $<a>=Z(G)$ . בנוסף, משיקולי עוצמה, קיים איבר $b \in G-Z(G)$ . ננסה להראות כי $b$ הזה מתחלף עם כל איברי $G$ , ולכן $b\in Z(G)$ , ובסתירה לבחירת $b$ .

ראשית, נשים לב לכך שהסדר של $b$ הוא $p$ ; אילו הסדר היה $p^2$ אז $b$ היה יוצר של כל $G$ , ואילו הסדר היה $1$ אז הוא היה איבר היחידה. הסדר של $a$ גם הוא $p$ , באופן ברור.

כעת, נביט בקבוצה $H=<a,b>=\{a^i b^j | 0 \le i,j \le p-1\}$ . נראה כי $H$ היא קבוצה מעוצמה $p^2$ : נניח כי קיימים $(i,j)\neq(i',j')$ עבורם ${a^i}{b^j}={a^{i'}}{b^{j'}}$ . על ידי בידוד איברים, נקבל $a^{i-i'}=b^{j'-j}$ , והאפשרות היחידה היא ששני ביטויים אלה שווים $e$ , ובסתירה להנחה $(i,j)\neq(i',j')$ . אם כן, לא ספרנו כאן איבר אחד פעמיים, ומצאנו שעוצמת $H$ היא $p^2$ .

ברור ש- $H\subseteq G$ , ולפי שויון עוצמות סופיות, $H=G$ . לכן כל איבר ב- $G$ ניתן לרשום בתור $a^ib^j$ . נבדוק האם $b \cdot a^ib^j=a^ib^j \cdot b$ .

ראשית, נזכיר כי $ab=ba$ , כי $a\in Z(G)$ . לכן $b\cdot a^i=b\cdot a\cdot a^{i-1}=a\cdot b\cdot a^{i-1}$ . נחזור על הטיעון $i$ פעמים, ונקבל $b\cdot a^i=a^i\cdot b$ . כמו כן, ברור כי $b\cdot b^j=b^j\cdot b$ . ביחד, נקבל $b\cdot a^ib^j=a^i\cdot b \cdot b^j = a^ib^j\cdot b$ , כנדרש. מצאנו אפוא כי $b\in Z(G)$ , ובסתירה לדרך שבה בחרנו את $b$ .

תרגיל. תהי $G$ חבורה מסדר $p^2$ ( $p$ ראשוני). הראו כי היא חבורה אבלית.

פתרון. לפי התרגיל הקודם, $|Z(G)|\neq p$ . לפי נוסחת המחלקות, $|Z(G)|\neq 1$ (הראנו בכיתה). לפי לגרנז', $|Z(G)| \mid p^2$ , וביחד נקבל $|Z(G)|= p^2$ . אם כן, משויון עוצמת קבוצות סופיות, $Z(G)=G$ , ו- $G$ אבלית.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-'''[[89-214 מבנים אלגבריים]]'''
+=הודעות כלליות=
-=קישורים=
+ברוכים הבאים לקורס מבנים אלגברים!
-* '''[[שיחה:89-214_סמסטר_א'_תשעה|שאלות ותשובות]]'''
+'''לקבוצה של שירה: יתכן והתרגול של 07/01 יתבטל. נא להתעדכן!'''
-* '''[[89-214 מבנים אלגבריים סמסטר א תשעה/תרגילים|תרגילים]]'''
+= השלמה לשיעור תרגיל בקבוצה 05 מיום כ"ח טבת (19 ינו') =
-* '''[[89-214 מבנים אלגבריים סמסטר א תשעה/מערכי תירגול|מערכי תירגול]]'''
+'''תרגיל'''. תהי <math>G</math> חבורה מסדר <math>p^2</math> (<math>p</math> ראשוני). הראו כי <math>|Z(G)|\neq p</math>.
-=הודעות כלליות=
+'''פתרון'''. נניח בשלילה כי <math>|Z(G)|=p</math>. מכיוון שזו חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית, כלומר קיים <math>a \in Z(G)</math> שיקיים <math><a>=Z(G)</math>. בנוסף, משיקולי עוצמה, קיים איבר <math>b \in G-Z(G)</math>. ננסה להראות כי <math>b</math> הזה מתחלף עם כל איברי <math>G</math>, ולכן <math>b\in Z(G)</math>, ובסתירה לבחירת <math>b</math>.
-ברוכים הבאים לקורס מבנים אלגברים!
+ראשית, נשים לב לכך שהסדר של <math>b</math> הוא <math>p</math>; אילו הסדר היה <math>p^2</math> אז <math>b</math> היה יוצר של כל <math>G</math>, ואילו הסדר היה <math>1</math> אז הוא היה איבר היחידה. הסדר של <math>a</math> גם הוא <math>p</math>, באופן ברור.
-'''לקבוצה של שירה: יתכן והתרגול של 07/01 יתבטל. נא להתעדכן!'''
+כעת, נביט בקבוצה <math>H=<a,b>=\{a^i b^j | 0 \le i,j \le p-1\}</math>. נראה כי <math>H</math> היא קבוצה מעוצמה <math>p^2</math>: נניח כי קיימים <math>(i,j)\neq(i',j')</math> עבורם <math>{a^i}{b^j}={a^{i'}}{b^{j'}}</math>. על ידי בידוד איברים, נקבל <math>a^{i-i'}=b^{j'-j}</math>, והאפשרות היחידה היא ששני ביטויים אלה שווים <math>e</math>, ובסתירה להנחה <math>(i,j)\neq(i',j')</math>. אם כן, לא ספרנו כאן איבר אחד פעמיים, ומצאנו שעוצמת <math>H</math> היא <math>p^2</math>.
+ברור ש-<math>H\subseteq G</math>, ולפי שויון עוצמות סופיות, <math>H=G</math>. לכן כל איבר ב-<math>G</math> ניתן לרשום בתור <math>a^ib^j</math>. נבדוק האם <math>b \cdot a^ib^j=a^ib^j \cdot b</math>.
+ראשית, נזכיר כי <math>ab=ba</math>, כי <math>a\in Z(G)</math>. לכן <math>b\cdot a^i=b\cdot a\cdot a^{i-1}=a\cdot b\cdot a^{i-1}</math>. נחזור על הטיעון <math>i</math> פעמים, ונקבל <math>b\cdot a^i=a^i\cdot b</math>. כמו כן, ברור כי <math>b\cdot b^j=b^j\cdot b</math>. ביחד, נקבל <math>b\cdot a^ib^j=a^i\cdot b \cdot b^j = a^ib^j\cdot b</math>, כנדרש. מצאנו אפוא כי <math>b\in Z(G)</math>, ובסתירה לדרך שבה בחרנו את <math>b</math>.
+'''תרגיל'''. תהי <math>G</math> חבורה מסדר <math>p^2</math> (<math>p</math> ראשוני). הראו כי היא חבורה אבלית.
+'''פתרון'''. לפי התרגיל הקודם, <math>|Z(G)|\neq p</math>. לפי נוסחת המחלקות, <math>|Z(G)|\neq 1</math> (הראנו בכיתה). לפי לגרנז', <math>|Z(G)| \mid p^2</math>, וביחד נקבל <math>|Z(G)|= p^2</math>. אם כן, משויון עוצמת קבוצות סופיות, <math>Z(G)=G</math>, ו-<math>G</math> אבלית.

הבדלים בין גרסאות בדף "89-214 סמסטר א' תשעה"

גרסה מ־12:47, 19 בינואר 2015

הודעות כלליות

השלמה לשיעור תרגיל בקבוצה 05 מיום כ"ח טבת (19 ינו')

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים