איחוד וחיתוך

הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם

מוטיבציה: הגדרנו את החיתוך והאיחוד עבור שתי קבוצות. לעיתים נרצה לחתוך או לאחד יותר קבוצות, לדוגמא נרצה לדבר על חיתוכן של 17 הקבוצות [math]\displaystyle{ A_1,A_2,\ldots,A_{17} }[/math]. מכיוון שחיתוך ואיחוד הן פעולות אסוציטיביות, ניתן לרשום [math]\displaystyle{ A_1\cap A_2\cap \ldots\cap A_{17} }[/math], וזה ביטוי חד משמעי. אך צורת רישום זו היא ארוכה, ולכן אנו מסמנים את החיתוך הזה בקיצור הבא: [math]\displaystyle{ \bigcap _{i=1} ^{17} A_i }[/math]. לעיתים נרצה לחתוך או לאחד אוסף אינסופי של קבוצות, ולכך באה ההכללה הבאה:

הגדרה: יהיו [math]\displaystyle{ \{A_i\}_{i\in I} }[/math] אוסף קבוצות כאשר [math]\displaystyle{ I }[/math] הוא קבוצת אינדקסים אזי נגדיר את האיחוד והחיתוך של אוסף הקבוצות כך:

[math]\displaystyle{ \bigcup _{i\in I} A_i := \{x| \exist i\in I :x\in A_i \} }[/math]

[math]\displaystyle{ \bigcap _{i\in I} A_i := \{x| \forall i\in I :x\in A_i \} }[/math]. כאן יש להניח שקבוצת האינדקסים [math]\displaystyle{ I }[/math] לא ריקה.

דוגמא:

נגדיר [math]\displaystyle{ \forall n\in \mathbb{N}\cup \{0\} \; A_n:=(n,n+1) \cup (-n-1,-n) }[/math] אזי

א. [math]\displaystyle{ \bigcup _{n\in \mathbb{N}} A_n = \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Z} }[/math]

ב. [math]\displaystyle{ \bigcap _{n\in \mathbb{N}} A_n = \varnothing }[/math]

ג. נגדיר [math]\displaystyle{ B_n=\mathbb{R}\smallsetminus A_n }[/math]. חשבו את [math]\displaystyle{ \bigcap_{n\in \mathbb{N}} B_n }[/math]

הוכחה:

א. ע"י הכלה דו כיוונית.

ב. מספיק להראות [math]\displaystyle{ A_1\cap A_2=\phi }[/math].

ג. נתייחס ל-[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] כקבוצה האוניברסלית לדיוננו. לפי דה-מורגן נקבל:[math]\displaystyle{ \bigcap_{n\in \mathbb{N}} B_n=\bigcap_{n\in \mathbb{N}} A_n^c=(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n)^c=(\mathbb{Z}^c)^c=\mathbb{Z} }[/math].