אינטגרל לא אמיתי

עד כה הגדרנו אינטגרביליות לפי רימאן ודארבו. הגדרות אלו עוסקות בפונקציות חסומות ובקטעים סופיים בלבד.

אינטגרל לא-אמיתי (מוכלל) מסוג ראשון

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה אינטגרבילית על כל קטע מהצורה [math]\displaystyle{ [a,a+M] }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ M\gt 0 }[/math] נגדיר

[math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f(x)dx:=\lim_{t\to\infty}\int\limits_a^t f(x)dx }[/math]

אומרים כי האינטגרל מתכנס אם הגבול קיים.

ההגדרה דומה עבור קטע מהצורה [math]\displaystyle{ (-\infty,a] }[/math]

אינטגרל לא-אמיתי (מוכלל) מסוג שני

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה אינטגרבילית על כל קטע מהצורה [math]\displaystyle{ [a,b-\epsilon] }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math] , ואינה חסומה על הקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] . נגדיר

[math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(x)dx:=\lim_{t\to b^-}\int\limits_a^t f(x)dx }[/math]

אומרים כי האינטגרל מתכנס אם הגבול קיים.

ההגדרה דומה אם הפונקציה אינה חסומה בצד השמאלי.

אינטגרל כללי

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה. אזי האינטגרל [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ -\infty\le a\le b\le \infty }[/math] מתכנס אם ורק אם ניתן לחלק את הקטע למספר סופי של קטעים עליהם [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית רימאן/דארבו, האינטגרל על [math]\displaystyle{ f }[/math] הוא מתכנס מסוג ראשון או מתכנס מסוג שני.

כלומר, בהנתן אינטגרל, מחלקים אותו לקטעים בהם יש צד אחד "בעייתי" לכל היותר (כלומר צד אחד אינסופי, או צד אחד בו הפונקציה אינה חסומה).

דוגמא.

האם האינטגרל הבא מתכנס [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{dx}{x(x-1)} }[/math] ?

פתרון.

נחלק את הקטע לתתי-קטעים עליהם האינטגרל הוא מסוג ראשון או שני. הפונקציה אינה חסומה באזור הנקודות 0 ו-1. לכן נחלק לחלקים שהם סופיים ובהם הפונקציה אינה חסומה בצד אחד, או קטעים אינסופיים בהם הפונקציה אינטגרבילית על כל תת-קטע סופי.

[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^\infty\frac{dx}{x(x-1)}=\int\limits_{-\infty}^{-1}\frac{dx}{x(x-1)}+\int\limits_{-1}^0\frac{dx}{x(x-1)}+\int\limits_0^\frac12\frac{dx}{x(x-1)}+\int\limits_{\frac12}^1\frac{dx}{x(x-1)}+\int\limits_1^2\frac{dx}{x(x-1)}+\int\limits_2^\infty\frac{dx}{x(x-1)} }[/math]