אינטגרציה בחלקים

בקצרה: אינטגרציה בחלקים היא שיטה לחישוב אינטגרל של מכפלת שתי פונקציות, המבוססת על נוסחת גזירת מכפלה: [math]\displaystyle{ \int f'\cdot g\,dx=f\cdot g-\int f\cdot g'\,dx }[/math]. משתמשים בה כשנוח לגזור גורם אחד באינטגרנד ולמצוא קדומה לגורם השני.

אינטגרציה בחלקים (הנקראת גם אינטגרל בחלקים) היא אחת משיטות האינטגרציה הבסיסיות בחשבון אינפיניטסימלי, המיועדת לפתרון אינטגרלים שבהם האינטגרנד הוא מכפלה של שתי פונקציות. השיטה נובעת ישירות מכלל גזירת המכפלה, והופכת את האינטגרציה של [math]\displaystyle{ f'\cdot g }[/math] לאינטגרציה, לרוב פשוטה יותר, של [math]\displaystyle{ f\cdot g' }[/math].

הגדרה

אינטגרציה בחלקים הוא כינוי לנוסחת האינטגרציה הבאה:

[math]\displaystyle{ \int{f'\cdot g}=f\cdot g-\int{f\cdot g'} }[/math]

הנוסחא נובעת מיידית מנוסחת גזירת כפל:

[math]\displaystyle{ (f\cdot g)'=f'\cdot g+g'\cdot f }[/math]

הנוסחא נכונה במידה והאינטגרלים מוגדרים, ובפרט עבור [math]\displaystyle{ f,g }[/math] בעלות נגזרות רציפות.

(אחרת, אמנם יש קדומה ל- [math]\displaystyle{ f'\cdot g+g'\cdot f }[/math] , אבל לא בהכרח ל- [math]\displaystyle{ f'\cdot g }[/math] ו- [math]\displaystyle{ g'\cdot f }[/math] בנפרד.)

דוגמאות

א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על-ידי גזירתו. יתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.

[math]\displaystyle{ \int x\cos(x)dx=? }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ f'=\cos(x)\ ,\ g=x }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ f=\sin(x)\ ,\ g'=1 }[/math]

לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים מתקיים

[math]\displaystyle{ \int x\cos(x)dx=x\sin(x)-\int\sin(x)dx=x\sin(x)+\cos(x)+C }[/math]

ב. חזרה למקורות - בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם חזרה לאינטגרל המקורי פותרת לנו את הבעיה.

[math]\displaystyle{ \int e^x\cos(x)dx=? }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ I=\int e^x\cos(x)dx }[/math]

לכן

[math]\displaystyle{ I=e^x\cos(x)+\int e^x\sin(x)dx=e^x\cos(x)+e^x\sin(x)-\int e^x\cos(x)dx=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)-I }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ 2I=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big) }[/math]

ומכאן יוצא

[math]\displaystyle{ \int e^x\cos(x)dx=I=\frac{e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)}{2}+C }[/math]

ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע [math]\displaystyle{ 1 }[/math] כנגזרת של הפונקציה [math]\displaystyle{ x }[/math] ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעיה באמצעות אינטגרציה בחלקים.

[math]\displaystyle{ \int\sqrt{a^2-x^2}dx=? }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ f'=1\ ,\ g=\sqrt{a^2-x^2} }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ f=x\ ,\ g'=-\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} }[/math]

נפעיל נוסחת אינטגרציה בחלקים:

[math]\displaystyle{ \int\sqrt{a^2-x^2}dx=x\sqrt{a^2-x^2}+\int\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx= }[/math]

[math]\displaystyle{ =x\sqrt{a^2-x^2}+\int\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx= }[/math]

[math]\displaystyle{ =x\sqrt{a^2-x^2}-\int\sqrt{a^2-x^2}dx+a^2\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}= }[/math]

ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת

[math]\displaystyle{ 2\int\sqrt{a^2-x^2}dx=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} }[/math]

כאשר את האינטגרל האחרון נלמד בשיטת ההצבה.