אינפי 1, תשנ"ו מועד ב' - פתרון (זלצמן)
קישור לבחינה עצמה: המבחן
אתם מוזמנים לעזור בפתרון, לשנות, לתקן ולהעיר הערות.
שאלה 1
יהי [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n }[/math] טור חיובי.
א. הראה שאם [math]\displaystyle{ \{a_n\}_{n=1}^\infty }[/math] סדרה המקיימת לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] : [math]\displaystyle{ \Big|a_{n+1}-a_n\Big|\lt b_n }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n\lt \infty }[/math] אזי הסדרה מתכנסת.
- הוכחה
אם הטור מתקיים התנאים הנ"ל כלומר: [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n\lt \infty }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n }[/math] טור חיובי, אזי הטור מתכנס. שכן סדרת הסכומים החלקיים שלו היא מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן מתכנסת.
נוכיח כי הסדרה הנה קושי וזאת באמצעות הקריטריון של קושי להתכנסות סדרות.
יהי [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] . לפי קריטריון קושי קיים [math]\displaystyle{ M\in\N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ p\in\N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left|\displaystyle\sum_{k=M}^{M+p}b_k\right|\lt \epsilon }[/math] .
יהיו [math]\displaystyle{ n,m\gt M }[/math] , אזי:
[math]\displaystyle{ \begin{align} |a_n-a_m|&=\bigg|a_n-a_{n-1}+a_{n-1}-\cdots+a_{m+1}-a_m\bigg|\\ &\le\Big|a_n-a_{n-1}\Big|+\Big|a_{n-1}-a_{n-2}\Big|+\cdots+\Big|a_{m+1}-a_m\Big|\\ &\le b_{n-1}+b_{n-2}+\cdots+b_m=\sum_{k=m}^{n-1}b_k\le\sum_{k=M}^{n-1}b_k\lt \epsilon \end{align} }[/math]
הראנו שהסדרה היא קושי ולכן מתכנסת.
- דרך אחרת
נשים לב כי [math]\displaystyle{ a_0=0,a_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}(a_{k+1}-a_k) }[/math] , וכיון שהטור הזה מתכנס בהחלט כי בהחלט הוא נשלט על-ידי [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] כך גם [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת כי התכנסות של טור שקולה להתכנסות של הסכומים החלקיים.
ב. אם הטור [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n }[/math] אז קיימת סדרה [math]\displaystyle{ \{a_n\}_{n=1}^\infty }[/math] המקיימת לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] : [math]\displaystyle{ \Big|a_{n+1}-a_n\Big|\lt b_n }[/math] וגם מתבדרת.
- הוכחה
נביט בסדרת הסכומים החלקיים של הטור (עם שינוי קל): [math]\displaystyle{ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n-1}b_k }[/math] ונגדיר [math]\displaystyle{ S_1=0 }[/math]
הטור [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n }[/math] מתבדר ולכן לפי ההגדרה (כי הוספת איבר אחד בהתחלה אינה משפיעה על התכנסות או התבדרות הסדרה) הסדרה מתבדרת.
כמו כן, קל לראות כי מתקיים התנאי: [math]\displaystyle{ \Big|S_{n+1}-S_n\Big|=\left|\sum\limits_{k=1}^n b_k-\sum\limits_{k=1}^{n-1}b_k\right|=|b_n|=b_n }[/math]
[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
- תיקון
תהי [math]\displaystyle{ S_n }[/math] סדרת הסכומים החלקיים של הטור [math]\displaystyle{ \sum (b_n-n^2) }[/math] הטור מתבדר כהפרש של טור מתבדר בטור מתכנס מתקיים [math]\displaystyle{ \Big|s_n-s_{n-1}\Big|=b_n-n^2\lt b_n }[/math]
שאלה 2
בדוק התכנסות והתכנסות בהחלט של הטורים הבאים:
א. [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot\dfrac{\ln(n)}{n} }[/math]
- פתרון
ראשית נבדוק התכנסות בהחלט: [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left|(-1)^n\cdot\dfrac{\ln(n)}{n}\right|=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\ln(n)}{n} }[/math]
[math]\displaystyle{ \ln(n)\gt 1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\ge3 }[/math] ולכן לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] שכזה מתקיים: [math]\displaystyle{ \frac1n\le\frac{\ln(n)}{n} }[/math] ולפי מבחן ההשוואה הראשון הטור מכיון שהטור ההרמוני מתבדר אז [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\ln(n)}{n} }[/math] מתבדר.
ידוע [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\ln(n)}{n}=0 }[/math] (ואם אתם לא מאמינים לי אפשר להוכיח את זה עם לופיטל) ולכן מספיק להוכיח שהסדרה מונוטונית יורדת כדי להסיק התכנסות בתנאי לפי לייבניץ:
נביט בפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x} }[/math] , מספיק להראות כי [math]\displaystyle{ f'(x)\le0 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x\ge3 }[/math] .
[math]\displaystyle{ f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^2} }[/math] וקל לראות שהתנאי לעיל מתקיים עבור [math]\displaystyle{ x\ge e }[/math] ובפרט עבור [math]\displaystyle{ x\ge3 }[/math] .
ב. [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot\sin\left(\tfrac{1}{n^2}\right) }[/math]
- פתרון
נראה התכנסות בהחלט לפי מבחן ההשוואה הגבולי
[math]\displaystyle{ \frac{\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)}{\frac1{n^2}}\to1 }[/math] ולכן הטורים חברים.
מכיון [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} }[/math] מתכנס אז גם [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\sin\left(\tfrac{1}{n^2}\right) }[/math] .
ולכן הטור מתכנס בהחלט.
ג. [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot\frac{(2n)!}{n^{2n}} }[/math]
- פתרון
נוכיח התכנסות בהחלט לפי מבחן המנה של ד'לאמבר
[math]\displaystyle{ \begin{align}\dfrac{\dfrac{(2n+2)!}{(n+1)^{2n+2}}}{\dfrac{(2n)!}{n^{2n}}}&=\dfrac{\dfrac{(2n+2)!}{(n+1)^{2n+2}}}{\dfrac{(2n)!\cdot n^2}{n^{2n+2}}}=\frac{(2n+2)!}{(2n)!\cdot n^2}\cdot\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n+2}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{n^2}\cdot\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{2n+2}\\&=\frac{2(n+1)(2n+1)}{n^2}\cdot\left(\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right)^2\to\frac{4}{e^2}\lt 1\end{align} }[/math]
ולכן הטור מתכנס בהחלט!
שאלה 3
ציטוט משפטים
שאלה 4
יש לבדוק האם הפונקציות הבאות רבמ"ש בקטעים הנתונים:
א. [math]\displaystyle{ f(x)=x\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right) }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math]
נראה שהגבולות בקצוות הקטע סופיים ולכן הפונקציה רבמ"ש:
[math]\displaystyle{ \lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}x\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)=0 }[/math] , חסומה כפול 0.
[math]\displaystyle{ \lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}x\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)=f(1)=\sin(1) }[/math] . מזאת מכיון שהפונקציה היא מנה, הרכבה וכפל של פונקציות רציפות.
ב. [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מסעיף א' בקרן [math]\displaystyle{ (1,\infty) }[/math]
בדומה לסעיף הקודם, נראה שהגבולות בקצוות הקטע סופיים ולכן הפונקציה רבמ"ש:
[math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}x\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)=\lim_{x\to\infty}x^2\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)\cdot\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=1\cdot 0=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}x\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)=f(1)=\sin(1) }[/math] . מזאת מכיון שהפונקציה היא מנה, הרכבה וכפל של פונקציות רציפות.
ג. [math]\displaystyle{ g(x)=\sin(x^2) }[/math] רבמ"ש בקרן [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math]
נניח בשלילה שהפונקציה רבמ"ש. הפונקציה [math]\displaystyle{ h(x)=\arcsin(x) }[/math] רציפה בתחום [math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math] ולכן רבמ"ש בו.
מכיון שהתחום [math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math] הנו התמונה של [math]\displaystyle{ g }[/math] , ההרכבה של הפונקציות רבמ"ש (לפי משפט).
לכן [math]\displaystyle{ (h\circ g)(x)=\arcsin\big(\sin(x^2)\big)=x^2 }[/math] רבמ"ש, בסתירה להוכחה מהתירגול.
- פתרון נוסף (עם סדרות)
נגדיר את שתי הסדרות הבאות:
[math]\displaystyle{ x_n=\sqrt{\frac{3\pi}{2}+2\pi n} }[/math] ואת הסדרה [math]\displaystyle{ y_n=\sqrt{\frac{\pi}{2}+2\pi n} }[/math] ונמשיך מכאן...
שאלה 5
[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}2-x&x\in\Q\\\dfrac{1}{x}&x\notin\Q\end{cases} }[/math]
צריך למצוא עבור אילו ערכים הפונקציה רציפה ועבור אילו ערכים הפונקציה גזירה.
- פתרון
נתחיל עם הנקודות עבורן הפונקציה רציפה, שכן זהו תנאי הכרחי לגזירות.
הנקודות בהן הפונקציה רציפה הן הנקודות בהן מתקיים השוויון: [math]\displaystyle{ 2-x=\frac{1}{x} }[/math]
בכל שאר הנקודות, ניתן לבנות שתי סדרות: אחת של רציונאליים ואחת של אי-רציונאליים שתמונותיהן יתכנסו לשני ערכים שונים ולכן היא אינה רציפה בהן.
במקרה של שוויון, כל סדרה של רציונאליים, אי-רציונאליים או שילוב שלהם תתכנס ל- [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] בין אם הוא רציונאלי או לא.
נפתור את המשוואה ונקבל תוצאה יחידה: [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] , בנקודה זו הפונקציה רציפה.
כעת נבדוק האם היא גזירה בנקודה זו, אם הפונקציה גזירה אזי בהכרח [math]\displaystyle{ (2-x)'(1)=(\frac1{x})'(1) }[/math] מנימוקים דומים, כלומר:
מכיון שהגבולות [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to1}\dfrac{\frac{1}{x}-1}{x-1},\lim\limits_{x\to1}\dfrac{(2-x)-1}{x-1}\in\R }[/math]
אז לפי היינה התמונות של כל הסדרות שמתכנסות ל-1 יתכנסו לגבולות האלו. אם הפונקציה גזירה, בהכרח הגבול קיים ולכן כל הסדרות התמונות חייבות להתכנס לאותה נקודה. על כל פנים, נחזור לשוויון שהצגנו לעיל:
[math]\displaystyle{ (2-x)'(1)=-1=-\frac{1}{1^2}=\left(-\frac{1}{x^2}\right)(1)=\left(\frac{1}{x}\right)'(1) }[/math]
ולכן הפונקציה גזירה בנקודה [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] .
שאלה 6
א.
[math]\displaystyle{ \begin{align}\frac{d}{dx}\left(x^{\cos\big(e^{x^2}\big)}\right)&=\frac{d}{dx}\left(e^{\cos\big(e^{x^2}\big)\cdot\ln(x)}\right)\\&=e^{\cos\big(e^{x^2}\big)\cdot\ln(x)}\cdot\frac{d}{dx}\left(\cos\big(e^{x^2}\big)\cdot\ln(x)\right)=x^{\cos\big(e^{x^2}\big)}\cdot\left(\frac{\cos\big(e^{x^2}\big)}{x}-2x\cdot e^{x^2}\cdot\ln(x)\cdot\sin\big(e^{x^2}\big)\right)\end{align} }[/math]
ב.
[math]\displaystyle{ \begin{align}\frac{d}{dx}\left(\arctan\left(\frac{\ln(x)}{1+x^2}\right)\right)&=\dfrac{\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\ln(x)}{1+x^2}\right)}{1+\left(\dfrac{\ln(x)}{1+x^2}\right)^2}\\&=\dfrac{\dfrac{\dfrac{1+x^2}{x}-2x\cdot\ln(x)}{(1+x^2)^2}}{1+\left(\dfrac{\ln(x)}{1+x^2}\right)^2}=\dfrac{\dfrac{1+x^2-4x^2\ln(x)}{x(1+x^2)^2}}{\dfrac{(1+x^2)^2+\ln^2(x)}{(1+x^2)^2}}=\frac{1+x^2\big(1-4\ln(x)\big)}{x\big((1+x^2)^2+\ln^2(x)\big)}\end{align} }[/math]
ג.
[math]\displaystyle{ \Big(x^{-n}+n^{-x}\Big)'=-nx^{-n-1}-\ln(n)\cdot n^{-x} }[/math]