אינפי 1/אי שיוויון ברנולי

📄 דף מעודכן על הנושא: אינדוקציה מתמטית ואי-שוויון ברנולי: הגדרות ומשפטים מהקורס, סרטון, דוגמאות פתורות ותרגול.

משפט

\begin{displaymjx}\forall n\in \mathbb{N} \forall x>-1 : (1+x)^n\geq 1+nx\end{displaymjx}

הוכחה.

באינדוקציה: עבור [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] נקבל ש- [math]\displaystyle{ 1+x\geq 1+x }[/math] שזה כמובן נכון. נניח שהטענה נכונה עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] כללי ונראה שעבור [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] מתקיים \begin{displaymjx}(1+x)^{n+1}=(1+x)^n\cdot (1+x) \geq (1+nx)(1+x)=1+nx+x+nx^2=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}1+(n+1)x+nx^2\geq 1+(n+1)x\end{displaymjx}

∎