אינפי 1/אי שיוויונים של גבולות (סדרות)
נניח [math]\displaystyle{ x_n\to L }[/math] אזי
- לכל [math]\displaystyle{ p<L }[/math] קיים [math]\displaystyle{ n_1 }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ n>n_1 \Rightarrow x_n>p }[/math]
- לכל [math]\displaystyle{ q>L }[/math] קיים [math]\displaystyle{ n_2 }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ n>n_2 \Rightarrow x_n<q }[/math]
הוכחה.
אם נציב בהגדרת הגבול של [math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} x_n = L }[/math] את [math]\displaystyle{ \varepsilon=L-p }[/math] נוכיח ישירות את 1 ואם נציב [math]\displaystyle{ \varepsilon=q-L }[/math] נוכיח ישירות את 2.
∎
אם [math]\displaystyle{ x_n\to a , y_n\to b }[/math] כש- [math]\displaystyle{ a<b }[/math] אז [math]\displaystyle{ \exists_{n_0} \forall_{n>n_0} x_n<y_n }[/math]
הוכחה.
אם ניקח [math]\displaystyle{ p=\frac{a+b}{2} }[/math] שהוא בין [math]\displaystyle{ a }[/math] ל-[math]\displaystyle{ b }[/math] אז לפי המשפט הקודם מתקיים: \begin{displaymjx}\exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: x_n<p , \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: y_n>p\end{displaymjx} ואז עבור [math]\displaystyle{ n>n_0=\max\{n_1,n_2\} }[/math] מתקיים ש- [math]\displaystyle{ x_n<p<y_n }[/math] .
∎
כלומר אם [math]\displaystyle{ x_n\leq y_n }[/math] ו- [math]\displaystyle{ x_n\to a , y_n\to b }[/math] אז [math]\displaystyle{ a\leq b }[/math]
הוכחה.
נניח בשלילה ש- [math]\displaystyle{ a>b }[/math] אזי מהמסקנה הקודמת [math]\displaystyle{ \exists_{n_0} \forall_{n>n_0} y_n<x_n }[/math] בסתירה לנתון.
∎
אם ניקח את [math]\displaystyle{ y_n=\frac{1}{n} }[/math] ו- [math]\displaystyle{ x_n=0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x_n<y_n }[/math] אבל שתי הסדרות מתכנסות ולא נכון להגיד ש- [math]\displaystyle{ \displaystyle\lim_{n\to \infty} x_n < \displaystyle\lim_{n\to \infty} y_n }[/math]
כלומר אם [math]\displaystyle{ x_n\to L_1 , x_n\to L_2 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ L_1=L_2 }[/math]
הוכחה.
[math]\displaystyle{ x_n\leq x_n }[/math] ולכן, מהמסקנה הקודמת, [math]\displaystyle{ L_1\leq L_2 }[/math] ובאותה דרך [math]\displaystyle{ L_2\leq L_1 }[/math]. מכאן ש- [math]\displaystyle{ L_1=L_2 }[/math]
∎