ראינו במשפט פרמה שאם [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה בנקודת קיצון אז הנגזרת היא [math]\displaystyle{ 0 }[/math] אבל זה לא אומר שאם הנגזרת היא [math]\displaystyle{ 0 }[/math] הנק’ היא נק’ קיצון. לדוגמה עבור [math]\displaystyle{ f(x)=x^3 }[/math] אז [math]\displaystyle{ f'(0)=0 }[/math] אבל [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] לא נק’ קיצון. הכלל הבא עוזר לפתור הרבה בעיות מהסוג הזה:
נניח [math]\displaystyle{ f\in D^n (a,b) }[/math] וב- [math]\displaystyle{ x_0\in (a,b) }[/math] מתקיים ש- [math]\displaystyle{ f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots f^{(n-1)}(x_0)=0 }[/math] אבל [math]\displaystyle{ f^{(n)}(x_0)\neq 0 }[/math] . אזי אם [math]\displaystyle{ n }[/math] אי זוגי אין נק’ קיצון ב- [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], אם [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי והנגזרת ה- [math]\displaystyle{ n }[/math]ית חיובית אז [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] מינימום ואם הנגזרת ה- [math]\displaystyle{ n }[/math]ית שלילית אז ב- [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נק’ מקסימום.
הוכחה.
מתקיים ש-
[math]\displaystyle{ f(x)=f(x_0)+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \varepsilon (x) \cdot (x-x_0)^n\ \text{where}\ \lim_{x\to x_0} \varepsilon(x) = 0 }[/math] . לכן אם נעביר אגפים יתקיים
\begin{displaymjx}f(x)-f(x_0)=(x-x_0)^n \left (\frac{f^{(n)}}{n!}+\varepsilon(x) \right )\end{displaymjx}
מהגדרת הפונקציה אפסילון נקבל שקיים [math]\displaystyle{ \delta }[/math] כך ש-
[math]\displaystyle{ \forall x : |x-x_0|<\delta \Rightarrow |\varepsilon(x)|<|\frac{f^{(n)}}{(2n)!}| }[/math] ולכן הסימן של [math]\displaystyle{ \left (\frac{f^{(n)}}{n!}+\varepsilon(x) \right ) }[/math] זהה לסימן של [math]\displaystyle{ \frac{f^{(n)}}{n!} }[/math].
כעת נחזור לכך ש-
\begin{displaymjx}f(x)-f(x_0)=(x-x_0)^n \left (\frac{f^{(n)}}{n!}+\varepsilon(x) \right )\end{displaymjx}
נניח [math]\displaystyle{ n }[/math] אי זוגי אז נראה שעבור [math]\displaystyle{ x }[/math]ים מצדדים שונים של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] הסימן של [math]\displaystyle{ f(x)-f(x_0) }[/math] ישתנה בהתאם ומכאן שלא נק’ קיצון.
נניח [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי אז [math]\displaystyle{ f^{(n)} (x_0) >0 \Rightarrow \frac{f^{(n)}}{n!}+\varepsilon(x)>0 \Rightarrow f(x)-f(x_0) \geq 0 }[/math] ואז [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נק’ מינימום. עבור נגזרת [math]\displaystyle{ n }[/math]ית שלילית נקבל מקסימום באופן דומה.
∎
