פעולות עם גבולות אינסופיים
משפט
אם [math]\displaystyle{ x_n\to \pm \infty , y_n\to a\in \mathbb{R} }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} x_n+y_n=\pm \infty }[/math] (בהתאם לגבול של [math]\displaystyle{ x_n }[/math] )
אם [math]\displaystyle{ x_n\to \pm \infty , y_n\to a\in \mathbb{R} }[/math] ו- [math]\displaystyle{ a\neq 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} x_n\cdot y_n=\operatorname{sign}(a)\cdot \pm \infty }[/math] כאשר הסימן של a מוגדר להיות [math]\displaystyle{ 1 }[/math] אם הוא חיובי, [math]\displaystyle{ -1 }[/math] אם הוא שלילי ו-[math]\displaystyle{ 0 }[/math] אם הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math].
[math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty }|x_n|=\infty \Rightarrow \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \frac{1}{x_n}=0 }[/math].
גם הצד השני נכון, נסו להוכיח את זה לפי המשפטונים הבאים:
[math]\displaystyle{ 3.1 }[/math]. [math]\displaystyle{ \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \frac{1}{x_n}=0 \land x_n>0 \Rightarrow x_n\to \infty }[/math]
[math]\displaystyle{ 3.2 }[/math]. [math]\displaystyle{ \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \frac{1}{x_n}=0 \land x_n<0 \Rightarrow x_n\to -\infty }[/math]
הוכחה.
יהי [math]\displaystyle{ M>0 }[/math]. מהגדרת הגבול של [math]\displaystyle{ y_n }[/math] ידוע ש- \begin{displaymjx}\exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: a-1<y_n<a+1\end{displaymjx} ומהגדרת השאיפה לאינסוף של [math]\displaystyle{ x_n }[/math] אנחנו יודעים ש- \begin{displaymjx}\exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: x_n>M-a+1\end{displaymjx} ולכן אם נגדיר [math]\displaystyle{ n_0=\max\{n_1,n_2\} }[/math] אז יתקיים ש- \begin{displaymjx}\forall_{n>n_0}: x_n+y_n>(M-a+1)+(a-1)=M\end{displaymjx}
נוכיח עבור [math]\displaystyle{ a }[/math] חיובי, עבור [math]\displaystyle{ a }[/math] שלילי ההוכחה דומה מאוד והדבר היחיד כמעט שמשתנה זה סימני אי השיוויון:
יהי [math]\displaystyle{ M>0 }[/math]. מהגדרת הגבול של [math]\displaystyle{ y_n }[/math] ידוע ש- \begin{displaymjx}\exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: \frac{a}{2}<y_n<\frac{3a}{2}\end{displaymjx} ומהגדרת השאיפה לאינסוף של [math]\displaystyle{ x_n }[/math] אנחנו יודעים ש- \begin{displaymjx}\exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: x_n>\frac{2}{a}M\end{displaymjx} ולכן אם נגדיר [math]\displaystyle{ n_0=\max\{n_1,n_2\} }[/math] אז יתקיים ש- \begin{displaymjx}\forall_{n>n_0}: x_n\cdot y_n>\frac{2}{a}M\cdot \frac{a}{2}=M\end{displaymjx}
יהי [math]\displaystyle{ \epsilon>0 }[/math]. מהגדרת השאיפה לאינסוף של [math]\displaystyle{ x_n }[/math] אנחנו יודעים ש- \begin{displaymjx}\exists_{n_0}\forall_{n>n_0}: x_n>\frac{1}{\epsilon}\end{displaymjx} אבל \begin{displaymjx}\frac{1}{\epsilon}<|x_n|\Leftrightarrow \frac{1}{|x_n|}<\epsilon\end{displaymjx} וקיבלנו את הדרוש כי \begin{displaymjx}\forall_{n>n_0}:|\frac{1}{x_n}|<\epsilon\end{displaymjx}
[math]\displaystyle{ 3.1 }[/math]. נוכיח את [math]\displaystyle{ 3.1 }[/math] ו- [math]\displaystyle{ 3.2 }[/math] מוכח באופן דומה: יהי [math]\displaystyle{ M>0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ \exists_{n_0}\forall_{n>n_0} \frac{1}{x_n}<\frac{1}{M} }[/math] ומכאן ש- [math]\displaystyle{ \forall_{n>n_0} x_n>M }[/math].
∎
מקרים של כל מקרה לגופו - אי הגדרה:
יהיו [math]\displaystyle{ x_n,y_n }[/math]
אם [math]\displaystyle{ x_n\to \infty , y_n \to -\infty }[/math] אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של [math]\displaystyle{ x_n+y_n }[/math] (במילים אחרות, לא מוגדר [math]\displaystyle{ \infty+(-\infty) }[/math] )
דוגמה
\begin{displaymjx}x_n=n, y_n=1-n \Rightarrow x_n+y_n=1\to 1\end{displaymjx} \begin{displaymjx}x_n=n^2, y_n=2-n^2 \Rightarrow x_n+y_n=2\to 2\end{displaymjx} \begin{displaymjx}x_n=n^2 , y_n=-n \Rightarrow x_n+y_n=n^2-n=n(n-1)\to \infty\end{displaymjx} \begin{displaymjx}x_n=n , y_n=-n^2 \Rightarrow x_n+y_n=-n^2+n=-n(n-1)\to -\infty\end{displaymjx} \begin{displaymjx}x_n=n , y_n=(-1)^n - n \Rightarrow x_n+y_n=(-1)^n \Rightarrow \text{Limit } \text{doesn't } \text{exist}\end{displaymjx}
אם [math]\displaystyle{ x_n\to \infty , y_n \to 0 }[/math] אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של [math]\displaystyle{ x_n\cdot y_n }[/math]
דוגמה
\begin{displaymjx}x_n=n, y_n=\frac{1}{n} \Rightarrow x_n y_n=1\to 1\end{displaymjx} \begin{displaymjx}x_n=n^2, y_n=\frac{2}{n^2} \Rightarrow x_n y_n = 2\to 2\end{displaymjx} \begin{displaymjx}x_n=n^2 , y_n=\frac{-1}{n} \Rightarrow x_n y_n = -n\to -\infty\end{displaymjx} \begin{displaymjx}x_n=n , y_n=\frac{1}{n^2} \Rightarrow x_n y_n = \frac{1}{n}\to 0\end{displaymjx} \begin{displaymjx}x_n=n , y_n=\frac{(-1)^n}{n} \Rightarrow x_n y_n = (-1)^n \Rightarrow \text{Limit } \text{doesn't } \text{exist}\end{displaymjx}
אם שתי הסדרות שואפות ל-[math]\displaystyle{ 0 }[/math] אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של [math]\displaystyle{ \frac{x_n}{y_n} }[/math]
דוגמה
אם ניקח כל זוג מהדוגמאות של מקרה 2 ונחליף את [math]\displaystyle{ x_n }[/math] בהופכי שלו, נקבל דוגמאות ל-3 (חשבו מה קורה במקרה זה ל-[math]\displaystyle{ \frac{y_n}{x_n} }[/math])
תרגיל: מהו [math]\displaystyle{ \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} }[/math] ?
פתרון: נשתמש בשיטה שנקראת "כפל בצמוד" והיא נקראת כך מהדמיון לרעיון של חילוק מספרים מרוכבים (לא חלק מהחומר של הקורס) \begin{displaymjx}\displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \frac{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0\end{displaymjx}
