אינפי 1/אריתמטיקה של גבולות של סדרות

📄 דף מעודכן על הנושא: אריתמטיקה של גבולות: הגדרות ומשפטים מהקורס, סרטון, דוגמאות פתורות ותרגול.

יהיו [math]\displaystyle{ \{a_n\}_{n=1}^{\infty} , \{b_n\}_{n=1}^\infty }[/math] סדרות.

משפט

אם [math]\displaystyle{ a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow}0 , \exists M : |b_n|<M }[/math] אז [math]\displaystyle{ \displaystyle{\lim_{n\to \infty}} a_n b_n = 0 }[/math] (מכפלה של סדרה חסומה בסדרה ששואפת ל-[math]\displaystyle{ 0 }[/math] זו סדרה ששואפת ל-[math]\displaystyle{ 0 }[/math])

הוכחה.

יהי [math]\displaystyle{ \epsilon>0 }[/math] . כיוון ש- [math]\displaystyle{ a_n }[/math] שואפת ל-[math]\displaystyle{ 0 }[/math], לכל מרחק שיתנו לי קיים [math]\displaystyle{ N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>N }[/math], מרחק איברי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מ-0 קטן מהמרחק ההתחלתי שנתנו לי, בפרט עבור המרחק [math]\displaystyle{ \frac{\varepsilon}{M} }[/math]. מתקיים אז ש- \begin{displaymjx}\exists N \forall n>N : |a_n|<\frac{\varepsilon}{M} \Rightarrow \exists N \forall n>N : |a_n| \cdot M <\epsilon\end{displaymjx} אבל המרחק של [math]\displaystyle{ a_n b_n }[/math] מ-[math]\displaystyle{ 0 }[/math] הוא \begin{displaymjx}|a_n b_n - 0| = |a_n b_n| = |a_n| \cdot |b_n| \leq |a_n| \cdot M\end{displaymjx} וראינו בשורה הקודמת שקיים [math]\displaystyle{ N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>N }[/math] מתקיים ש- [math]\displaystyle{ |a_n| \cdot M \leq \varepsilon }[/math] ולכן אם ניקח את אותו [math]\displaystyle{ N }[/math], לכל [math]\displaystyle{ n>N }[/math] יתקיים ש- [math]\displaystyle{ |a_n b_n| <\varepsilon }[/math], ומכאן, לפי הגדרת הגבול, [math]\displaystyle{ a_n b_n }[/math] שואפת ל-[math]\displaystyle{ 0 }[/math].

∎

דוגמה

[math]\displaystyle{ a_n = \frac{\sin(n!)}{n} }[/math] היא סדרה שנראית די מסובכת במבט ראשון, אבל היא מתכנסת ל-[math]\displaystyle{ 0 }[/math]. זאת משום שהיא מכפלה של סדרה חסומה, [math]\displaystyle{ \sin(n!) }[/math] (תמיד מתקיים ש- [math]\displaystyle{ |\sin(x)|\leq 1 }[/math] ) וסדרה ששואפת ל-[math]\displaystyle{ 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math]

משפט

[math]\displaystyle{ a_n \to L \Leftrightarrow a_n-L\to 0 }[/math] .

משפט

אם 2 הסדרות שואפות ל-0 אז גם הסכום והמכפלה שלהן שואפות ל-0.

הוכחה.

כדי להוכיח שהמכפלה שואפת ל-[math]\displaystyle{ 0 }[/math], פשוט נזכור שאחת הסדרות חסומה (כי מתכנסת) והשנייה שואפת ל-[math]\displaystyle{ 0 }[/math] ולכן המכפלה שלהן שואפת ל-[math]\displaystyle{ 0 }[/math]. עבור סכום, צריך להוכיח ש- \begin{displaymjx}\forall\epsilon>0 \exists N\forall n>N:|a_n +b_n-0|<\epsilon\end{displaymjx} יהי [math]\displaystyle{ \epsilon>0 }[/math], מהנתון ומהגדרת גבול אנו יודעים ש- \begin{displaymjx}\exists N_1\forall n>N_1:|a_n-0|<\frac{\epsilon}{2}\end{displaymjx} \begin{displaymjx}\exists N_2\forall n>N_2:|b_n -0|<\frac{\epsilon}{2}\end{displaymjx} לכן אם נגדיר [math]\displaystyle{ N=max\{N_1,N_2\} }[/math] יתקיים \begin{displaymjx}\forall n>N:|a_n+b_n-0|=|a_n+b_n|\leq |a_n|+|b_n|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\end{displaymjx} מצאנו [math]\displaystyle{ N }[/math] כנדרש.

∎

משפט אריתמטיקה של גבולות

נניח ש- [math]\displaystyle{ a_n \to a , b_n \to b }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ a,b \in \mathbb{R} }[/math] ) אזי:

1. [math]\displaystyle{ \displaystyle{\lim_{n\to \infty}} (a_n+b_n) = a+b }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \displaystyle{\lim_{n\to \infty}} (a_n b_n) = ab }[/math]
3. אם [math]\displaystyle{ c }[/math] קבוע אז [math]\displaystyle{ c\cdot a_n \to ca }[/math]
4. אם [math]\displaystyle{ a>0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ \displaystyle{\lim_{n\to \infty}} \frac{1}{a_n} = \frac{1}{a} }[/math]

הוכחה.

1. נסמן [math]\displaystyle{ x_n=a_n-a,y_n=b_n-b }[/math] ועפ"י משפט, הם שואפים ל-[math]\displaystyle{ 0 }[/math]. מהמשפט הקודם, הסכום שלהם שואף ל-[math]\displaystyle{ 0 }[/math]: \begin{displaymjx}x_n+y_n=a_n-a+b_n-b=(a_n+b_n)-(a+b)\to 0\end{displaymjx} לפי משפט, זה אומר ש- [math]\displaystyle{ a_n+b_n\to a+b }[/math]
2. אם נסתכל על אותם [math]\displaystyle{ x_n,y_n }[/math] אז מהמשפט הקודם, המכפלה שלהם שואפת ל-[math]\displaystyle{ 0 }[/math]. \begin{displaymjx}a_n b_n = (x_n+a)(y_n+b)=x_n y_n + a\cdot y_n + b\cdot x_n + ab\end{displaymjx} כל אחד מארבעת הרכיבים מתכנס: הראשון ל-[math]\displaystyle{ 0 }[/math], השני והשלישי הם סדרות ששואפות ל-[math]\displaystyle{ 0 }[/math] כפול מספר קבוע (שאפשר להתייחס אליו כאל סדרה חסומה) ולכן שואפות ל-[math]\displaystyle{ 0 }[/math] והרביעי הוא סדרה קבועה ששואפת ל- [math]\displaystyle{ ab }[/math]. סך הכל, מהדבר האחרון שהוכחנו (סכום גבולות), [math]\displaystyle{ a_n b_n \to ab }[/math]
3. נגדיר [math]\displaystyle{ \forall n: c_n=c }[/math] ונראה ש- [math]\displaystyle{ c_n\to c }[/math], ממשפטון 2 נקבל את הדרוש
4. יהי אפסילון גדול מ-[math]\displaystyle{ 0 }[/math]. נראה שמתקיימים הדברים הבאים:
   

[math]\displaystyle{ \exists N_0 \forall n>N_0 : ||a_n| - |a||<|a| }[/math] (לקחנו את הערך המוחלט של [math]\displaystyle{ a }[/math] להיות האפסילון). לכן עבור [math]\displaystyle{ n>N_0 }[/math] מתקיים ש- [math]\displaystyle{ |a|<2|a_n| }[/math] \begin{displaymjx}|\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a}|=|\frac{a-a_n}{a_n a}|=\frac{|a-a_n|}{|a_n| |a| }\leq |a-a_n| \frac{2}{|a_n| |a|}\end{displaymjx} עפ"י הגדרת הגבול \begin{displaymjx}\exists N \forall n>N: |a_n-a|\leq \epsilon \frac{|a|^2}{4}\end{displaymjx} מכאן שלכל [math]\displaystyle{ n>N }[/math] \begin{displaymjx}\left |\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a}\right |\leq |a_n-a| \frac{2}{|a_n| |a|} \leq \epsilon \frac{|a|^2}{4} \frac{2}{|a_n| |a|}=\epsilon \frac{|a|}{2|a_n|}< \epsilon \frac{2|a_n|}{2|a_n|}=\epsilon\end{displaymjx}

∎

דוגמה

נמצא את גבול הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\frac{n^2+5n+6}{3n^2-2} }[/math] : \begin{displaymjx}a_n=\frac{n^2+5n+6}{3n^2-2}=\frac{\frac{n^2+5n+6}{n^2}}{\frac{3n^2-2}{n^2}} = \frac{1+\frac{5}{n}+\frac{6}{n^2}}{3-\frac{2}{n^2}}\end{displaymjx} אבל [math]\displaystyle{ \frac{1}{n},\frac{1}{n^2}\to 0 }[/math] ומהסעיף השלישי והראשון במשפט הקודם מסיקים ש-[math]\displaystyle{ \frac{5}{n}+\frac{6}{n^2} , \frac{2}{n^2}\to 0 }[/math] ואחרי שנחבר את הקבועים נקבל שהמונה שואף ל-[math]\displaystyle{ 1 }[/math] והמכנה ל-[math]\displaystyle{ 3 }[/math] ומהסעיף הרביעי נקבל ש- [math]\displaystyle{ \displaystyle{\lim_{n\to \infty}} a_n = \frac{1}{3} }[/math]

הערה

1. אם [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת ו- [math]\displaystyle{ b_n }[/math] מתבדרת אזי [math]\displaystyle{ a_n+b_n }[/math] מתבדרת
2. אם [math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math] מתבדרות אזי [math]\displaystyle{ a_n+b_n }[/math] עשויה להתבדר או להתכנס (אי אפשר לדעת באופן כללי, זה תלוי בסדרות עצמן)
3. אם [math]\displaystyle{ a_n\to L\neq 0 }[/math] ו- [math]\displaystyle{ b_n }[/math] מתבדרת אזי [math]\displaystyle{ a_n b_n }[/math] מתבדרת
4. אם [math]\displaystyle{ a_n\to 0 }[/math] ו- [math]\displaystyle{ b_n }[/math] מתבדרת אזי [math]\displaystyle{ a_n b_n }[/math] עשויה להתבדר או להתכנס.
5. אם [math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math] מתבדרות אזי [math]\displaystyle{ a_n b_n }[/math] עשויה להתבדר או להתכנס

[math]\displaystyle{ \\ }[/math] הסבר:

1. נניח בשלילה ש- [math]\displaystyle{ c_n=a_n+b_n }[/math] מתכנסת אז נראה כי [math]\displaystyle{ c_n-a_n=b_n }[/math] מתכנסת כהפרש של מתכנסות.
2. אפשר להגדיר [math]\displaystyle{ a_n=n }[/math] , [math]\displaystyle{ b_n=n^2 }[/math] , [math]\displaystyle{ c_n=-n }[/math] ולראות ש- [math]\displaystyle{ a_n+c_n=0\to 0 }[/math] ולעומת זאת [math]\displaystyle{ b_n+c_n=n(n-1) }[/math] וזה מתבדר.
3. הוכחה בשיעורי הבית
4. הוכחה בשיעורי הבית
5. נגדיר [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math] ואז [math]\displaystyle{ a_n\cdot a_n = 1\to 1 }[/math] למרות ש-2 הגורמים מתבדרים. מצד שני אם מגדירים [math]\displaystyle{ b_n=n }[/math] נקבל ש- [math]\displaystyle{ a_n b_n=(-1)^n\cdot n }[/math] שזה לא חסום ולכן מתבדר.

תרגיל בית: נסו להשתמש בכך שעבור 2 מספרים [math]\displaystyle{ a,b }[/math] תמיד מתקיים [math]\displaystyle{ | |a|-|b| | \leq |a-b| }[/math] כדי להוכיח שאם [math]\displaystyle{ a_n \to L }[/math] אז [math]\displaystyle{ |a_n| \to |L| }[/math] . הפריכו את המשפט ההפוך.