אינפי 1/חישוב גבולות עם שארית פיאנו

ניתן להשתמש בשארית פיאנו ובהגדרת [math]\displaystyle{ o(x-x_0)^n, x\to x_0 }[/math] כדי לחשב גבולות.

דוגמה

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\cos x - e^{\frac{x^2}{2}}}{x^4} }[/math] .
[math]\displaystyle{ \cos x = 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4) , e^{-\frac{x^2}{2}}=1-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8}+o(x^4) }[/math]

לכן \begin{displaymjx}\lim_{x\to 0} \frac{\cos x - e^{\frac{x^2}{2}}}{x^4} = \lim_{x\to 0} \frac{1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)-1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}+o(x^4)}{x^4} =\end{displaymjx} \begin{displaymjx}\lim_{x\to 0} \frac{(\frac{1}{24}-\frac{1}{8})x^4 + o(x^4)}{x^4}=\frac{1}{24}-\frac{1}{8}=\frac{-1}{12}\end{displaymjx}