אינפי 1/טור טיילור

הגדרה

תהי [math]\displaystyle{ f\in D^{\infty} (a,b) }[/math] אזי אפשר להגדיר את [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n }[/math] להיות טור הטיילור של [math]\displaystyle{ f }[/math] סביב [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] .

משפט

אם [math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} R_n(x,x_0)=0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] שווה לטור הטיילור שלה.

הוכחה.

\begin{displaymjx}\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n= \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k =\end{displaymjx} \begin{displaymjx}\lim_{n\to \infty} f(x)-R_n (x,x_0) = f(x)-0=f(x)\end{displaymjx}

∎

מסקנה

תהי [math]\displaystyle{ f \in D^\infty (a,b) }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \exists M : \forall x\in (a,b), n\in \mathbb{N} :|f^{(n)} (x)|<M }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] שווה לטור הטיילור שלה.

הוכחה.

לפי לגרנז’ לכל [math]\displaystyle{ x\in (a,b) }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math] קיים [math]\displaystyle{ c\in [x_0,x]\cup [x,x_0] }[/math] כך ש-

\begin{displaymjx}|R_n (x,x_0)| = \left |\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}\right | \leq M\cdot \frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!} \underset{n\to \infty} {\longrightarrow} 0\end{displaymjx}

ומהמשפט הקודם נקבל את הדרוש.

∎

דוגמה

פונקציה שמתכנסת לטור הטיילור שלה רק בנקודת הפיתוח:

\begin{displaymjx}f(x)=\begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2} }& \text{if}\ x\neq 0 \\ 0& \text{else} \end{cases}\end{displaymjx}

נראה כי [math]\displaystyle{ f\in D^\infty (-\infty,\infty) }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \forall n : f^{(n)} (0) = 0 }[/math] . מכאן שטור הטיילור שלה הוא [math]\displaystyle{ \sum 0 = 0 }[/math], אבל [math]\displaystyle{ f(x)=0 }[/math] רק ב- [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] . התכונה המיוחדת של הפונקציה הזאת גורמת לה להיות הנחיתה המושלמת של מטוס, משום שב- [math]\displaystyle{ t=0 }[/math] היא על הקרקע, המהירות היא [math]\displaystyle{ 0 }[/math], התאוצה היא [math]\displaystyle{ 0 }[/math], השינוי בתאוצה היא [math]\displaystyle{ 0 }[/math], וכן הלאה...

דוגמה

נזכור ש- [math]\displaystyle{ \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n }[/math] עבור [math]\displaystyle{ |x|<1 }[/math] ולכן אם נציב במקום [math]\displaystyle{ x }[/math] את [math]\displaystyle{ -x^2 }[/math] נקבל ש- [math]\displaystyle{ \frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n} }[/math] וממשפט היחידות נסיק שזהו טור הטיילור של הפונקציה. נשאלת השאלה: אם הפונקציה הזו מוגדרת וגזירה אינסוף פעמים בכל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] , מדוע תחום ההתכנסות שלה הוא עדיין [math]\displaystyle{ |x|<1 }[/math] ? הרי ב- [math]\displaystyle{ \frac{1}{1-x} }[/math] היה ברור שאם נציב [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] נקבל מצב של אי הגדרה, אבל פה לכאורה אין שום סינגולריות במרחק [math]\displaystyle{ 1 }[/math] מ- [math]\displaystyle{ x_0=0 }[/math] . בקורסים מתקדמים יותר (העוסקים במרוכבים) נראה שבעצם כן יש וזה מה שעוצר את הטור מלהתכנס בטווח רחב יותר.