משפט
נניח [math]\displaystyle{ f(x)=P(x)+o((x-x_0)^n)_{x\to x_0} = Q(x)+o((x-x_0)^n)_{x\to x_0} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ P,Q }[/math] פולינומים מדרגה קטנה או שווה ל- [math]\displaystyle{ n }[/math] אזי [math]\displaystyle{ P(x)=Q(x) }[/math]
הוכחה.
\begin{displaymjx}P(x)+o((x-x_0)^n)_{x\to x_0}=Q(x)+o((x-x_0)^n)_{x\to x_0} \Rightarrow P(x)-Q(x) = o((x-x_0)^n)_{x\to x_0}\end{displaymjx} \begin{displaymjx}P(x)=p_0 + p_1 (x-x_0) + p_2 (x-x_0)^2 +\cdots p_n (x-x_0)^2 , Q(x)= q_0 + q_1 (x-x_0) +\cdots q_n (x-x_0)^n \Rightarrow\end{displaymjx} \begin{displaymjx}\sum_{k=0}^n (p_k-q_k) x^k = o((x-x_0)^n)_{x\to x_0} \Rightarrow \lim_{x\to x_0} \frac{(p_0-q_0)+(p_1-q_1)(x-x_0) +\cdots (p_n-q_n)(x-x_0)^n}{(x-x_0)^n}=0\end{displaymjx}
אבל הגבול הזה קיים רק אם כל המקדמים (חוץ מהאחרון) של [math]\displaystyle{ x-x_0 }[/math] הם אפסים והגבול מתאפס אם המקדם האחרון הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math]. לסיכום [math]\displaystyle{ p_k-q_k=0 }[/math] ואז [math]\displaystyle{ p_k=q_k }[/math] .
לכן [math]\displaystyle{ P(x)=Q(x) }[/math]
∎
משפט
נניח [math]\displaystyle{ f\in D^n (a,b) }[/math] וקיים פולינום [math]\displaystyle{ P(x)=\sum_{k=0}^n p_k (x-x_0)^k }[/math] עבור [math]\displaystyle{ x_0\in (a,b) }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ f(x)=P(x)+o((x-x_0)^n)_{x\to x_0} }[/math], אזי [math]\displaystyle{ p_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} }[/math] . במילים אחרות, הפולינום הוא פולינום הטיילור מדרגה [math]\displaystyle{ n }[/math] של [math]\displaystyle{ f }[/math] סביב [math]\displaystyle{ x_0 }[/math].
הוכחה.
ראינו כבר שפולינום הטיילור [math]\displaystyle{ P_n (x) }[/math] מקיים [math]\displaystyle{ f(x)=P_n (x) + o((x-x_0)^n)_{x\to x_0} }[/math] . לפי המשפט הקודם מתקיים בהכרח ש- [math]\displaystyle{ P(x)=P_n (x) }[/math] וסיימנו
∎
דוגמה: ראינו בעבר שעבור [math]\displaystyle{ |x|\leq 1 }[/math] מתקיים ש- [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x} }[/math] ובפרט אם נציב [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] נקבל
\begin{displaymjx}\frac{1}{1-x^2}=\sum_{n=0}^\infty x^{2n}\end{displaymjx}
לכן אפשר להראות ש- [math]\displaystyle{ \frac{1}{1-x^2} = \sum_{k=0}^n p_k x^k + o((x-x_0)^n)_{x\to x_0} , p_k=\begin{cases} 0& \text{if k is odd}\\ 1& \text{if k is even} \end{cases} }[/math]
מהמשפט שהרגע הוכחנו נראה כי:
\begin{displaymjx}\left ( \frac{1}{1-x^2} \right )^{(k)} (0) = \begin{cases}0& \text{if k is odd}\\ k!& \text{if k is even} \end{cases}\end{displaymjx}
משום ש- [math]\displaystyle{ \frac{\left ( \frac{1}{1-x^2} \right )^{(k)} (0)}{k!} =p_k }[/math] . ככה לדוגמה אנחנו יכולים לחשב את הנגזרת ה- [math]\displaystyle{ 2015 }[/math] של הפונקציה ב-[math]\displaystyle{ 0 }[/math] (יוצא [math]\displaystyle{ 0 }[/math]) ואת הנגזרת ה- [math]\displaystyle{ 2016 }[/math] ב-[math]\displaystyle{ 0 }[/math] (יוצא [math]\displaystyle{ 2016! }[/math]) בקלות .
