אינפי 1/כלל לופיטל

📄 דף מעודכן על הנושא: כלל לופיטל: הגדרות ומשפטים מהקורס, סרטון, דוגמאות פתורות ותרגול.

נניח שאנו מחפשים את הגבול של [math]\displaystyle{ \lim_{x\to p} \frac{f(x)}{g(x)} }[/math] . אם אחת הפונקציות שואפת ל-0 או אחת הפונקציות שואפת לאינסוף אנו יודעים די בקלות למה הגבול הזה שווה, ואם שתי הפונקציות שואפות למספר שהוא לא [math]\displaystyle{ 0 }[/math] גם קל מאריתמטיקה פשוטה של גבולות למצוא את הגבול של המנה. אבל מה קורה במצב של [math]\displaystyle{ \frac{0}{0} }[/math] או [math]\displaystyle{ \frac{\infty}{\infty} }[/math] ? אנחנו בבעיה, ופה נכנס כלל לופיטל (L’hospital) שבכלל התגלה ע"י ברנולי.

הגדרה

עבור [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{R} }[/math] נגדיר את הסביבה [math]\displaystyle{ U_\delta (p) }[/math] להיות [math]\displaystyle{ (p-\delta ,p+\delta) }[/math] . אם [math]\displaystyle{ p=\infty }[/math] אז [math]\displaystyle{ U_\delta (p)=(\frac{1}{\delta} , \infty ) }[/math] ועבור [math]\displaystyle{ p=-\infty }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ U_\delta (p) = (-\infty , -\frac{1}{\delta}) }[/math]

משפט

נניח [math]\displaystyle{ f,g }[/math] גזירות ב- [math]\displaystyle{ U_{\delta_0} (p) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ \delta_0>0 }[/math] . נניח גם ש- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to p} \frac{f'(x)}{g'(x)}=L }[/math] קיים במובן הרחב (יכול להיות [math]\displaystyle{ \infty }[/math] או [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] ).

אם אחד מהבאים מתקיים:

1. [math]\displaystyle{ \lim_{x\to p} f(x)=\lim_{x\to p} g(x)= 0 }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \lim_{x\to p} g(x)=\infty }[/math]

אזי גם קיים הגבול של המנה והוא שווה ל- [math]\displaystyle{ L }[/math]

צריך לשים לב שהדרישה שהגבול של מנת הנגזרות קיים הוא הכרחי. לדוגמה, אם ניקח את [math]\displaystyle{ f(x)=x+\sin x }[/math] ו- [math]\displaystyle{ g(x)=x }[/math] אז בקלות נראה ש- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=1 }[/math] אבל [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to \infty} \frac{1+\cos x}{1} }[/math] לא קיים!

הוכחה.

תהי [math]\displaystyle{ (\alpha,\beta) }[/math] סביבה של [math]\displaystyle{ L }[/math] . אזי עבור תת סביבה [math]\displaystyle{ (\alpha' ,\beta') \subset (\alpha, \beta) }[/math] מהגדרת הגבול ידוע שקיים [math]\displaystyle{ \delta<\delta_0 }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \forall x\in U_\delta (p) : \alpha'<\frac{f(x)}{g(x)}<\beta' }[/math]

כעת יהיו [math]\displaystyle{ x,x_1\in U_\delta (p) }[/math] אבל מצד אחד בלבד! (אם [math]\displaystyle{ p=\pm\infty }[/math] כמובן שזה לא בעיה). לפי קושי [math]\displaystyle{ \exists c : \frac{f'(c)}{g'(c)} =\frac{f(x)-f(x_1)}{g(x)-g(x_1)} }[/math] (פה נכנס העובדה שהם רק מצד אחד, משום שאחרת אולי [math]\displaystyle{ c=p }[/math] ואנחנו רוצים להמנע ממצב כזה).

(בה"כ [math]\displaystyle{ g }[/math] לא מתאפסת בסביבת [math]\displaystyle{ p }[/math] משום שאם מתאפסת אינסוף פעמים אז אפשר לפי רול למצוא נקודה בה [math]\displaystyle{ g'(c)=0 }[/math] ואם היא מתאפסת מספר סופי של פעמים פשוט נצמצם את הסביבה ([math]\displaystyle{ \delta }[/math] ) מספיק כך שכבר לא יהיה כך.)

נוכיח את מצב 1:

בגבול בו [math]\displaystyle{ x_1\to p }[/math] מקבלים ש-

\begin{displaymjx}\lim_{c\to p} \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(x)-0}{g(x)-0}\end{displaymjx}

אבל

\begin{displaymjx}\alpha<\alpha'<\frac{f'(c)}{g'(c)}<\beta'<\beta \Rightarrow\end{displaymjx}

\begin{displaymjx}\alpha<\alpha'\leq \lim_{c\to p} \frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(x)}{g(x)}\leq \beta'<\beta\end{displaymjx}

ואז קיבלנו שלכל סביבה של [math]\displaystyle{ L }[/math] יש סביבה מנוקבת של [math]\displaystyle{ p }[/math] בה [math]\displaystyle{ \frac{f(x)}{g(x)} }[/math] נמצא בסביבה של [math]\displaystyle{ L }[/math] , ומהגדרת הגבול נקבל ש- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to p} \frac{f(x)}{g(x)} = L }[/math]

נוכיח את מצב 2:

ראינו ש-

\begin{displaymjx}\alpha'(g(x)-g(x_1))<f(x)-f(x_1)<\beta'(g(x)-g(x_1))\end{displaymjx}

\begin{displaymjx}\alpha'\left(1-\frac{g(x_1)}{g(x)}\right)+\frac{f(x_1)}{g(x)}<\frac{f(x)}{g(x)}<\beta'\left(1-\frac{g(x_1)}{g(x)}\right)+\frac{f(x_1)}{g(x)}\end{displaymjx}

ונשים לב שהצדדים שואפים ל- [math]\displaystyle{ \alpha',\beta' }[/math] ומכאן שעבור סביבה מספיק קטנה של [math]\displaystyle{ p }[/math] נקבל עדיין ש-

\begin{displaymjx}\alpha<\frac{f(x)}{g(x)}<\beta\end{displaymjx}

ומאותה סיבה קודם נקבל את הדרוש

∎