אינפי 1/כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה מסדר גבוה

משפט

נניח [math]\displaystyle{ u,v \in D^n (a,b) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ (uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)}v^{(n-k)} }[/math]

הוכחה.

נוכיח באינדוקציה. עבור [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] ראינו ש- [math]\displaystyle{ (uv)'=u'v+uv' }[/math]

נניח נכונות הטענה עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] כללי ונוכיח עבור [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] :

\begin{displaymjx}(uv)^{(n+1)}=\left((uv)^{(n)}\right)'=\left (\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)}v^{(n-k)}\right )'= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \left(u^{(k)}v^{(n-k)}\right)'=\end{displaymjx}

\begin{displaymjx}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \left(u^{(k+1)}v^{(n-k)}+u^{(k)}v^{(n-k+1)}\right) = \sum_{k=0}^{n+1} c_k u^{(k)} v^{(n+1-k)}\end{displaymjx}

כאשר

\begin{displaymjx}c_k=\binom{n}{k-1} + \binom{n}{k}=\frac{n!}{(k-1)! (n-k+1)!} + \frac{n!}{(n-k)!k!} =\end{displaymjx} \begin{displaymjx}\frac{k\cdot n!+ (n-k+1)\cdot n!}{k! (n-k+1)!} = \frac{(n+1)\cdot n!}{k! (n+1-k)!} = \binom{n+1}{k}\end{displaymjx}

קיבלנו את הדרוש

∎