אינפי 1/למת קנטור (חיתוך קטעים)

למה למת קנטור

נתונה סדרה של קטעים סגורים [math]\displaystyle{ [a_n,b_n] }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ [a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n] }[/math]. אם מתקיים [math]\displaystyle{ |b_n-a_n|\to 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \exists c : \bigcap_{n=1}^\infty [a_n,b_n] = \{c\} }[/math]

הוכחה.

נראה כי [math]\displaystyle{ \{a_n\}_{n=1}^\infty }[/math] מונוטונית עולה בעוד ש- [math]\displaystyle{ \{b_n\}_{n=1}^\infty }[/math] מונו’ יורדת.
בנוסף, [math]\displaystyle{ a_n\leq b_1 , b_n\geq a_1 }[/math] ולכן הסדרות האלה הן מונוטוניות וחסומות אז מתכנסות.
נגדיר [math]\displaystyle{ \sup a_n = a , \sup b_n = b }[/math] ואז אנו יודעים ש- [math]\displaystyle{ a_n\to a , b_n\to b }[/math]. אבל מאריתמטיקה של גבולות כיוון ש- [math]\displaystyle{ b_n-a_n\to 0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ b-a=0\Rightarrow b=a }[/math] . נגדיר [math]\displaystyle{ c:=b=a }[/math] ונוכיח ש- [math]\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^\infty [a_n,b_n] = \{c\} }[/math]
\begin{displaymjx}a_n\leq a =c=b \leq b_n \Rightarrow \forall n : c\in [a_n,b_n] \Rightarrow c\in \bigcap_{n=1}^\infty [a_n,b_n]\end{displaymjx} \begin{displaymjx}x\in \bigcap_{n=1}^\infty [a_n,b_n] \Rightarrow \forall x : x\in [a_n,b_n] \Rightarrow \forall n a_n\leq x \land x\leq b_n\end{displaymjx} מהגדרת אינפימום וסופרימום נקבל ש- \begin{displaymjx}a\leq x \land x\leq b\Rightarrow a=x=b\Rightarrow x=c\end{displaymjx}

∎