[math]\displaystyle{ C(A) }[/math] = כל הפונקציות שרציפות בקבוצה [math]\displaystyle{ A }[/math] .
[math]\displaystyle{ D(A) }[/math] = כל הפונקציות שגזירות בקבוצה [math]\displaystyle{ A }[/math]
תהי [math]\displaystyle{ f\in C[a,b] \cap D(a,b) }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ f(a)=f(b) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \exists c\in (a,b) : f'(c)=0 }[/math]
הוכחה.
לפי משפט וויירשטראס הפונקציה מקבלת מקסימום ומינימום ב- [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] , אם אחד מהם לא בקצוות אזי הוא ב- [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] ומכאן שהפונקציה גזירה בו והנגזרת בו הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math]. אם גם המינימום וגם המקסימום בקצוות נקבל שהפונקציה קבועה ולכן היא ישר והנגזרת שלה באופן זהותי הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math].
∎
