אינפי 1/מבחן אבל להתכנסות טורים

משפט

יהי הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n b_n }[/math] ונניח ש- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתכנס ו- [math]\displaystyle{ b_n }[/math] מונוטונית וחסומה, אזי הטור מתכנס.

הוכחה.

[math]\displaystyle{ b_n }[/math] מונו’ וחסומה ולכן מתכנסת לגבול [math]\displaystyle{ L }[/math]. נניח בה"כ ש- [math]\displaystyle{ b_n }[/math] מונוטונית יורדת (ואם היא עולה נעשה באופן דומה) ואז מתקיים \begin{displaymjx}\sum a_n b_n = \sum a_n (b_n-L+L) = \sum a_n (b_n-L) + L\sum a_n\end{displaymjx} הטור הראשון מתכנס לפי דיריכלה והשני נתון שהוא מתכנס, אז הטור הוא סכום של מתכנסים ולכן מתכנס.

∎