אינפי 1/מבחן המנה של דלאמבר לטורים

📄 דף מעודכן על הנושא: מבחן המנה ומבחן השורש: הגדרות ומשפטים מהקורס, סרטון, דוגמאות פתורות ותרגול.

משפט

נתון טור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] שכל איבריו חיוביים. נניח שקיים [math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} =q }[/math] אזי

1. אם [math]\displaystyle{ q<1 }[/math] הטור מתכנס
2. אם [math]\displaystyle{ q>1 }[/math] (אפשר גם אינסופי) הטור מתבדר

הוכחה.

1. [math]\displaystyle{ \exists_{n_0} \forall_{n\geq n_0} \frac{a_{n+1}}{a_n} <q' }[/math] עבור [math]\displaystyle{ q<q'<1 }[/math] ואז [math]\displaystyle{ \forall n\geq n_0: a_{n+1}\leq q' a_n }[/math] . מכאן ש-\begin{displaymjx}a_{n+1}\leq a_n \cdot q' \leq a_{n-1}\cdot q'^2 \leq \cdots \leq a_{n_0} \cdot q'^{n+1-n_0} =a_{n_0} q'^{1-n_0} \cdot q'^n\end{displaymjx} נסיק ש- [math]\displaystyle{ \sum_{n=n_0}^\infty a_n \leq a_{n_0} q'^{1-n_0} \cdot \sum_{n=1}^\infty q'^n }[/math] אבל זהו טור הנדסי שמתכנס, ולכן, ממבחן ההשווא ההראשון, נקבל את הדרוש.
2. מוכיחים את זה באופן אנלוגי ל-1 רק שצריך לקחת [math]\displaystyle{ 1<q'<q }[/math] ואי השיוויונים מתהפכים.

∎

דוגמה

אם [math]\displaystyle{ q=1 }[/math] אי אפשר לדעת, לדוגמה אם ניקח את הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} }[/math] אז בכל מקרה נקבל [math]\displaystyle{ q=1 }[/math] אבל עבור [math]\displaystyle{ p }[/math]ים שונים נקבל התכנסות/התבדרות