אינפי 1/מבחן השורש של קושי להתכנסות טורים

📄 דף מעודכן על הנושא: מבחן המנה ומבחן השורש: הגדרות ומשפטים מהקורס, סרטון, דוגמאות פתורות ותרגול.

משפט

נתון הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] שכל איבריו חיוביים. נסמן [math]\displaystyle{ \overline{\lim_{n\to\infty}} \sqrt[n]{a_n} = q }[/math] אזי מתקיים:

1. אם [math]\displaystyle{ q>1 }[/math] (גם אינסופי זה בסדר) הטור מתבדר
2. אם [math]\displaystyle{ q<1 }[/math] אז הטור מתכנס

הוכחה.

1. גבול עליון הוא גבול חלקי, ולכן קיימת תת סדרה כך ש- \begin{displaymjx}\exists k_0 \forall k>k_0 : \sqrt[n_k]{a_{n_k}} > 1\end{displaymjx} ולכן [math]\displaystyle{ \forall k>k_0 : a_{n_k}>1 }[/math] ואז [math]\displaystyle{ a_n\not\to 0 }[/math]. כלומר הטור לא יכול להתכנס.
2. [math]\displaystyle{ \exists n_0 \forall n>n_0 : \sqrt[n]{a_n} < q' }[/math] עבור [math]\displaystyle{ q<q'<1 }[/math] ולכן
   

[math]\displaystyle{ \forall_{n>n_0} a_n < q'^n }[/math] . ממבחן ההשוואה הראשון משום ש- [math]\displaystyle{ \sum q'^n }[/math] מתכנס אז גם הטור שלנו.

∎

דוגמה

כמו במבחן דלאמבר, גם פה הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} }[/math] מתכנס/מתבדר כתלות ב- [math]\displaystyle{ p }[/math] אבל הגבול הרצוי ממבחן השורש של קושי הוא 1, מה שמראה שגבול 1 לא מבטיח התכנסות ולא התבדרות.