אינפי 1/מבחן לוגריתמי

משפט

נתון טור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] שכל איבריו חיוביים. נניח שקיים \begin{displaymjx}\lim_{n\to \infty} \frac{-\ln(a_n)}{\ln(n)} =\lim_{n\to \infty} \log_n \frac{1}{a_n} = \alpha\end{displaymjx} (אם הטור הזה מועמד להתכנסות אז האיבר הכללי שואף ל-0 ולכן אפשר לראות שבכל מקרה [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] חייב להיות חיובי במקרה זה).

1. אם [math]\displaystyle{ \alpha>1 }[/math] (גם אינסופי זה בסדר) הטור מתכנס
2. אם [math]\displaystyle{ \alpha<1 }[/math] הטור מתבדר

הוכחה.

1. [math]\displaystyle{ \exists_{n_0} \forall_{n>n_0} : \log_n \frac{1}{a_n} >\alpha' }[/math] עבור [math]\displaystyle{ 1<\alpha'<\alpha }[/math] .
   

קיבלנו [math]\displaystyle{ \frac{1}{a_n}>n^{\alpha'} }[/math] ואז כמובן [math]\displaystyle{ \frac{1}{n^{\alpha'}} > a_n }[/math] והטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=n_0}^\infty \frac{1}{n^{\alpha'}} }[/math] מתכנס (הוכחנו כשדיברנו על מבחן העיבוי) ולכן, ממבחן ההשוואה הראשון, הטור שלנו מתכנס

1. ההוכחה אנלוגית ממש רק שניקח [math]\displaystyle{ \alpha<\alpha'<1 }[/math] ונקבל טור שהוכחנו שהוא מתבדר כשדיברנו על מבחן העיבוי.

∎

דוגמה

האם הטור הבא מתכנס או מתבדר? \begin{displaymjx}\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{\ln(\ln(n))}}\end{displaymjx} פתרון: נראה כי [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \log_n (n^{\ln(\ln(n))}) = \lim_{n\to\infty} \ln(\ln(n))=\infty }[/math] ולכן ממבחן לוגריתמי הטור מתכנס