יהיו 2 טורים [math]\displaystyle{ (B)\sum_{n=0}^\infty b_n , (A) \sum_{n=0}^\infty }[/math] . נגדיר את הטור [math]\displaystyle{ (C)\sum_{n=0}^\infty c_n }[/math] כאשר
[math]\displaystyle{ c_n=\sum_{k=0}^n= a_k b_{n-k} }[/math]
נניח שהטורים [math]\displaystyle{ A,B }[/math] מתכנסים בהחלט אזי גם [math]\displaystyle{ C }[/math] מתכנס בהחלט ו-[math]\displaystyle{ C=A\cdot B }[/math]
הוכחה.
קודם נראה ש-[math]\displaystyle{ C }[/math] מתכנס בהחלט
\begin{displaymjx}\sum_{n=0}^m |c_n| = \sum_{n=0}^m \left |\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \right |\leq \sum_{n=0}^m \sum_{k=0}^n |a_k b_{n-k}| \leq\end{displaymjx} \begin{displaymjx}\sum_{n=0}^m \sum_{k=0}^m |a_n| |b_k|= \sum_{n=0}^m |a_n| \cdot \sum_{k=0}^m |b_k| = A'\cdot B'\end{displaymjx}
כאשר [math]\displaystyle{ A',B' }[/math] זה טור הערכים המוחלטים של [math]\displaystyle{ A,B }[/math] וידוע שהם קיימים וסופיים משום שהטורים מתכנסים בהחלט. לכן קיים חסם מלעיל לסדרת הסכומים החלקיים של [math]\displaystyle{ C'=\sum |c_n| }[/math] ואז הטור מתכנס בהחלט.
נסמן את הסס"ח של [math]\displaystyle{ A }[/math] ב-[math]\displaystyle{ A_n }[/math] ואת הסס"ח של [math]\displaystyle{ B }[/math] ב- [math]\displaystyle{ B_n }[/math]. מתקיים ש-
\begin{displaymjx}A_n B_n = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n a_i b_j = C_n+\sum_{n<i+j\leq 2n} a_i b_j\end{displaymjx}
נגדיר [math]\displaystyle{ S_n =\sum_{i+j\leq n} |a_i| |b_j| }[/math] ונראה שזוהי סדרה מונוטונית עולה. מתקיים ש-[math]\displaystyle{ C }[/math] מתכנס בהחלט ולכן
\begin{displaymjx}\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n |a_k b_{n-k} | = \sum_{n=0}^\infty \sum_{i+j=n} |a_i b_j | <\infty\end{displaymjx}
ולכן [math]\displaystyle{ S_n }[/math] חסומה ואז מתכנסת לגבול [math]\displaystyle{ S }[/math] . \begin{displaymjx}|A_n B_n - C_n|=S_{2n} - S_n \to S-S = 0\end{displaymjx} ומאריתמטיקה של גבולות [math]\displaystyle{ A\cdot B = C }[/math]
∎
