אינפי 1/מעבר גבול

תהי הסדרה [math]\displaystyle{ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} }[/math] שאיבריה נראים ככה: [math]\displaystyle{ x_1,x_2,x_3,\cdots }[/math] ונניח ש- [math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} x_n =L }[/math] . נסתכל על הסדרה [math]\displaystyle{ x_{n+1} }[/math] שאיבריה הם [math]\displaystyle{ x_2,x_3,x_4,\cdots }[/math] , ונראה ש- [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} x_{n+1}=L }[/math] גם כן. זאת משום שעבור [math]\displaystyle{ \epsilon>0 }[/math] ידוע ש- [math]\displaystyle{ \exists_{n_0}\forall_{n>n_0} : |x_n-L|<\epsilon }[/math] וכיוון שזה לכל [math]\displaystyle{ n>n_0 }[/math] אז במצב כזה גם [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] (שהוא גדול מ- [math]\displaystyle{ n }[/math] שגדול מ- [math]\displaystyle{ n_0 }[/math] ) מקיים את הטענה ש- [math]\displaystyle{ |x_{n+1}-L|<\epsilon }[/math] . [math]\displaystyle{ \\ }[/math] העקרון הזה הוא ליבו של טריק נחמד שעוזר לחשב במקרים רבים גבולות של סדרות הנתונות בצורה רקורסיבית. השיטה היא כזאת: אם נתון ש- [math]\displaystyle{ x_{n+1}=f(x_n) }[/math] אז גם [math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} x_{n+1} = \lim_{n\to \infty} f(x_n) }[/math] אבל [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} x_{n+1} = L }[/math] ובאגף ימין אפשר גם להשתמש באריתמטיקה של גבולות כדי להציב [math]\displaystyle{ L }[/math] במקומות המתאימים, וכך מגיעים למשוואה. צריך לשים לב שכל זה בא בהנחה שהסדרה [math]\displaystyle{ x_n }[/math] מתכנסת, ואת זה יש להוכיח!

דוגמה

מהו הגבול של הסדרה [math]\displaystyle{ x_1=\sqrt{2},x_2=\sqrt{2+\sqrt{2}},\cdots,x_{n+1}=\sqrt{2+x_n} }[/math] ?

פתרון: נניח שהסדרה מתכנסת, ולכן [math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} x_{n+1}=\lim_{n\to \infty} \sqrt{2+x} }[/math] . מכאן

\begin{displaymjx}\lim_{n\to \infty} x_{n+1}^2 = \lim_{n\to \infty} 2+x_n\end{displaymjx} נציב [math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} x_n=L }[/math] ואז \begin{displaymjx}L^2=2+L\end{displaymjx} \begin{displaymjx}L^2-L-2=(L-2)(L+1)=0\end{displaymjx} \begin{displaymjx}L=-1,2\end{displaymjx} מצאנו שבמקרה שהסדרה מתכנסת, יש רק מועמד אחד שיכול להיות הגבול ( [math]\displaystyle{ -1 }[/math] נפסל משום שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן לא יכולים להתכנס למספר שלילי). אם נצליח להוכיח שהסדרה מתכנסת, הגבול שלה הוא 2. נוכיח שהיא מונוטונית עולה וחסומה ע"י 2:

מונוטונית עולה - \begin{displaymjx}x_n\leq x_{n+1} \Leftrightarrow x_n\leq \sqrt{x_n+2}\Leftrightarrow x_n^2\leq x_n+2\Leftrightarrow -1\leq x_n\leq 2\end{displaymjx} כלומר הסדרה לא תרד כל עוד האיברים בין [math]\displaystyle{ -1 }[/math] ל-2. כל איברי הסדרה חיוביים ועכשיו נוכיח שכל איברי הסדרה לא גדולים מ-2 באמצעות אינדוקציה: \begin{displaymjx}x_1=\sqrt{2}<2 , x_n\leq 2\Rightarrow x_{n+1}=\sqrt{x_n+2}\leq\sqrt{2+2}=2\end{displaymjx} אז כל איברי הסדרה קטנים מ-2 ולכן הסדרה מונוטונית עולה וחסומה ומכאן שמתכנסת ל-2. (את הגבול חישבנו באמצעות מעבר הגבול)