אינפי 1/משפט הסנדוויץ' (סדרות)

📄 דף מעודכן על הנושא: משפט הסנדוויץ': הגדרות ומשפטים מהקורס, סרטון, דוגמאות פתורות ותרגול.

משפט משפט הסנדוויץ’

תהיינה הסדרות [math]\displaystyle{ \{x_n\}_{n=1}^\infty , \{a_n\}_{n=1}^\infty , \{b_n\}_{n=1}^\infty }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \forall n : a_n\leq x_n \leq b_n }[/math] ובנוסף [math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} a_n = \lim_{n\to \infty} b_n = L }[/math] אזי הסדרה [math]\displaystyle{ x_n }[/math] מתכנסת והגבול שלה הוא [math]\displaystyle{ L }[/math].

הערה

שם המשפט נובע מכך שהסדרה האמצעית היא באמצע של מעין סנדוויץ’ שיוצרות הסדרות [math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math] ששואפות לאותו גבול. פרופסור מארק אגרנובסקי מספר שברוסיה נהוג לקרוא למשפט הזה המשפט על שיכור ו-2 שוטרים משום שהסדרות [math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math] הן כמו שוטרים שהולכים למקום מסוים [math]\displaystyle{ L }[/math] וגורמים שיכור שהולך ביניהם [math]\displaystyle{ x_n }[/math] ללכת איתם לאותו מקום

הוכחה.

אם [math]\displaystyle{ L=\infty }[/math] אז פשוט עבור [math]\displaystyle{ M>0 }[/math] ידוע שיש [math]\displaystyle{ n_0 }[/math] שמתקיים עבורו
[math]\displaystyle{ \forall_{n>n_0} a_n>M }[/math] ואז גם [math]\displaystyle{ x_n\geq a_n>M }[/math]. באותו אופן אם [math]\displaystyle{ L=-\infty }[/math] אז נעשה אותו דבר רק עם העובדה ש- [math]\displaystyle{ x_n\leq b_n\leq M }[/math] .
אם [math]\displaystyle{ L\in \mathbb{R} }[/math], יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math]. ידוע אז ש- \begin{displaymjx}\exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: L-\epsilon<a_n , \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: b_n<L+\epsilon\end{displaymjx} ואז עבור [math]\displaystyle{ n_0=\max\{n_1,n_2\} }[/math] מתקיים ש- [math]\displaystyle{ \forall_{n>n_0} : L-\epsilon<a_n\leq x_n\leq b_n < L+\epsilon }[/math] ומכאן, ש- [math]\displaystyle{ |x_n-L|<\epsilon }[/math] ואז לפי ההגדרה, [math]\displaystyle{ x_n\to L }[/math] .

∎

דוגמה

נסתכל על הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=n\cdot \sin \left ( \frac{1}{n^2} \right ) }[/math]. אי אפשר להשתמש באריתמטיקה של גבולות במקרה הזה, אך נראה כי מתקיים: \begin{displaymjx}0\leq n\cdot \sin \frac{1}{n^2} \leq n\cdot \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n}\end{displaymjx} שימו לב שאי השיוויון השני נובע מכך ש- [math]\displaystyle{ \sin x < x }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x }[/math] חיובי.
קיבלנו שהסדרה לכודה בין [math]\displaystyle{ 0 }[/math] (שכמובן שואף ל-[math]\displaystyle{ 0 }[/math]) לבין [math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math] (סדרה שגם היא שואפת ל-[math]\displaystyle{ 0 }[/math]) ולכן בסך הכל, ממשפט הסנדוויץ’, הסדרה מתכנסת ל-[math]\displaystyle{ 0 }[/math].