אינפי 1/נגזרות מסדר גבוה

הגדרה

תהי [math]\displaystyle{ f\in D(a,b) }[/math] אזי קיימת פונקציית נגזרת [math]\displaystyle{ f':(a,b)\to \mathbb{R} }[/math] . לפעמים גם לפונקציית הנגזרת אפשר להגדיר נגזרת, ומסמנים אותה \begin{displaymjx}(f')'(x)=f''(x)=\frac{d^2 f}{dx^2} (x)\end{displaymjx} וזאת הנגזרת השנייה של [math]\displaystyle{ f }[/math]. אפשר להמשיך באופן דומה לנגזרת שלישית, רביעית, ובאופן כללי נגזרת [math]\displaystyle{ n }[/math]ית, \begin{displaymjx}f^{(n)}(x) = \frac{d^n f}{dx^n} (x)\end{displaymjx} מסמנים [math]\displaystyle{ D^n (a,b) }[/math] להיות קבוצת כל הפונקציות הגזירות [math]\displaystyle{ n }[/math] פעמים בקטע [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]

לדוגמה נסתכל על [math]\displaystyle{ f(x)=|x|^3 }[/math]

\begin{displaymjx}f'(x)=\begin{cases} -3x^2& \text{if}\ x\leq 0 \\ 3x^2& \text{else} \end{cases}\end{displaymjx}

ולכן [math]\displaystyle{ f\in D(\mathbb R) }[/math]

\begin{displaymjx}f''(x)=\begin{cases} -6x& \text{if}\ x\leq 0 \\ 6x& \text{else} \end{cases}\end{displaymjx}

ולכן [math]\displaystyle{ f\in D^2 (\mathbb R) }[/math]

\begin{displaymjx}f'''(x)=\begin{cases} -6& \text{if}\ x<0 \\ 6x& \text{if}\ x>0 \end{cases}\end{displaymjx}

ולכן [math]\displaystyle{ f\in D^2(-\infty,\infty)\backslash D^3(-\infty,\infty) }[/math]