אינפי 1/נגזרת חסומה ורציפות במ"ש

משפט

תהי [math]\displaystyle{ f\in D(a,b) }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \exists M \forall x \in (a,b) : |f'(x)|\leq M }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] רבמ"ש ב- [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]

הוכחה.

אם [math]\displaystyle{ M=0 }[/math] הפונקציה קבועה ואז רבמ"ש. אחרת, יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] וניקח [math]\displaystyle{ \delta=\frac{\varepsilon}{M} }[/math] ואז נראה שעבור [math]\displaystyle{ |x'-x''|<\delta }[/math] מתקיים

\begin{displaymjx}|f(x')-f(x'')|\leq M(x'-x'')<M\delta=\varepsilon\end{displaymjx}

∎

דוגמה

[math]\displaystyle{ f(x)=\sqrt{x} }[/math] רציף במ"ש ב- [math]\displaystyle{ [0,\infty) }[/math]. הסבר:

[math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה במ"ש ב- [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] משום שרציפה על קטע סגור ואז לפי קנטור רבמ"ש שם.

[math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה במידה שווה ב- [math]\displaystyle{ [1,\infty) }[/math] משום ש- [math]\displaystyle{ |f'(x)|=\frac{1}{2\sqrt{x}} < \frac12 }[/math] ואז הנגזרת חסומה.

לכן [math]\displaystyle{ f }[/math] רבמ"ש על איחוד הקטעים וסיימנו.