אינפי 1/נק' אי הרציפות של הנגזרת - למת דרבו

משפט

אם [math]\displaystyle{ f\in D(a,b) }[/math] אז לנגזרת אין נק’ רציפות מסוג ראשון.
במילים אחרות, עבור [math]\displaystyle{ x_0\in (a,b) }[/math] אם קיימים [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^+} f'(x) , \lim_{x\to x_0^-} f'(x) }[/math] אזי הם שווים לנגזרת בנקודה (ובפרט שווים ביניהם)

הוכחה.

[math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב- [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ולכן הנגזרות החד צדדיות קיימות ושוות לנגזרת בנקודה.

לפי משפט לגרנז’ [math]\displaystyle{ \exists_c : f'(c)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} }[/math] . אם נניח ש- [math]\displaystyle{ x<x_0 }[/math] נקבל ש-

\begin{displaymjx}f'_-(x_0)=\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{c\to x_0^-} f'(c)\end{displaymjx}

ובאופן דומה

\begin{displaymjx}f'_+(x_0)=\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{c\to x_0^+} f'(c)\end{displaymjx}

אבל הנגזרות החד צדדיות שוות ומכאן ש-

\begin{displaymjx}\lim_{x\to x_0^-} f'(x)=f'_- (x_0) = f'(x_0) = f'_+ (x_0) = \lim_{x\to x_0^+} f'(x)\end{displaymjx}

∎

דוגמה:

[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} x^2 \sin\frac{1}{x}& \text{if}\ x\neq 0\\ 0& \text{else}\end{cases} }[/math] פונקציה גזירה עם נגזרת לא רציפה. ברור שהנגזרת קיימת ורציפה בכל מקום שהוא לא [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] (כפל והרכבה של פונקציות גזירות ברציפות). אם [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] אז קודם נבדוק רציפות ואז גזירות. רציפות:

\begin{displaymjx}\lim_{x\to 0} f(x)=\lim_{x\to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0=f(0)\end{displaymjx}

משום שזה מקרה של פונקציה חסומה כפול פונקציה ששואפת ל-[math]\displaystyle{ 0 }[/math]. כעת נבדוק גזירות:

\begin{displaymjx}f'(0)=\lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0} x\sin \frac{1}{x} = 0\end{displaymjx}

מאותה סיבה בדיוק. אבל עבור [math]\displaystyle{ x\neq 0 }[/math] מתקיים ש- [math]\displaystyle{ f'(x)=2x\sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x} }[/math] והגבול [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0} f'(x) }[/math] לא קיים ומכאן שהנגזרת לא רציפה.