אינפי 1/סדרות חסומות

📄 דף מעודכן על הנושא: סדרה מתכנסת היא חסומה: הגדרות ומשפטים מהקורס, סרטון, דוגמאות פתורות ותרגול.

הגדרה

סדרה [math]\displaystyle{ \{a_n \}_{n=1}^\infty }[/math] נקראת חסומה אם קבוצת איברי הסדרה חסומה (ראינו את ההגדרה של קבוצה חסומה).

דוגמה

הסדרה הזאת לא חסומה: \begin{displaymjx}0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6,0,7,\cdots\end{displaymjx} משום שלא חסומה מלעיל.

משפט

כל סדרה מתכנסת היא חסומה

הוכחה.

נניח שהסדרה מתכנסת ל- [math]\displaystyle{ L }[/math], ולכן לכל אפסילון קיים [math]\displaystyle{ N }[/math] כך ש-
[math]\displaystyle{ \forall n>N : |a_n-L|<\varepsilon }[/math]. בפרט, עבור [math]\displaystyle{ \varepsilon=1 }[/math]. נגדיר \begin{displaymjx}M=\max\{|a_1|,|a_2|,\cdots,|a_N|,|L+1|\}\end{displaymjx} ונראה ש- [math]\displaystyle{ \forall n : |a_n|\leq M }[/math] משום שאם [math]\displaystyle{ n\leq N }[/math] אז האיבר [math]\displaystyle{ |a_n| }[/math] נמצא בקבוצה ש-[math]\displaystyle{ M }[/math] הוא המקסימום שלה, ואם [math]\displaystyle{ n>N }[/math] אז גם ככה [math]\displaystyle{ |a_n-L|<1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ |a_n|<|L|+1\leq M }[/math] .

∎

דוגמה

הסדרות [math]\displaystyle{ a_n=n }[/math] ו- [math]\displaystyle{ b_n=(-1)^n\cdot n }[/math] לא חסומות, ומכאן שהן לא מתכנסות.

הערה

המשפט ההפוך לא נכון. לדוגמה הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math] חסומה מלעיל ע"י 1 ומלרע ע"י [math]\displaystyle{ -1 }[/math] אבל לא מתכנסת