אינפי 1/סדרות מונוטוניות ומעבר גבול

\section{סדרות מונוטוניות} \begin{definition} אומרים שסדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ "עולה מונוטונית" אם $\forall n : x_n\leq x_{n+1} $, במקרה כזה יש כאלה שמסמנים $x_n \nearrow$.\\ באופן דומה "יורדת מונוטונית" תהיה סדרה בה $\forall n : x_n\geq x_{n+1} $ ובמקרה כזה יש כאלה שמסמנים $x_n \searrow $ \end{definition}

\begin{thm} תהי סדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ כך ש- $\sup x_n = M , \inf x_n = m$. אם $x_n \nearrow$ אז הסדרה מתכנסת ל- $M$ ואם $x_n \searrow$ אז הסדרה מתכנסת ל- $m$. \end{thm}

\begin{proof} נוכיח עבור סדרה מונוטונית עולה, ועבור מונוטונית יורדת ההוכחה אנלוגית. אם $M\in\mathbb{R}$ אז יהי $\epsilon>0 $ לפי תכונה של סופרימום, $\exists n_0 : x_{n_0}>M-\epsilon$ וכיוון שזו סדרה מונוטונית עולה, $$\forall n>n_0 : M-\epsilon<x_{n_0}\leq x_n\leq M<M+\epsilon $$ ואז $x_n\to M$.\\ אם $M=\infty$ אז יהי $E\in\mathbb{R}$. מההגדרה של חסם עליון אינסופי, $\exists n_0 : x_{n_0}>E $ וכיוון שזו סדרה מונוטונית עולה, $\forall n>n_0 : E<x_{n_0}\leq x_n$ ואז $x_n\to \infty=M$.

\end{proof}

\section{מעבר גבול} תהי הסדרה $\{x_n\}_{n=1}^{\infty} $ שאיבריה נראים ככה: $x_1,x_2,x_3,\cdots $ ונניח ש- $\lim_{n\to \infty} x_n =L $ . נסתכל על הסדרה $x_{n+1} $ שאיבריה הם $x_2,x_3,x_4,\cdots $ , ונראה ש- $\lim_{n\to\infty} x_{n+1}=L$ גם כן. זאת משום שעבור $\epsilon>0$ ידוע ש- $\exists_{n_0}\forall_{n>n_0} : |x_n-L|<\epsilon $ וכיוון שזה לכל $n>n_0 $ אז במצב כזה גם $n+1 $ (שהוא גדול מ- $n$ שגדול מ- $n_0 $ ) מקיים את הטענה ש- $ |x_{n+1}-L|<\epsilon $ . $\\$ העקרון הזה הוא ליבו של טריק נחמד שעוזר לחשב במקרים רבים גבולות של סדרות הנתונות בצורה רקורסיבית. השיטה היא כזאת: אם נתון ש- $x_{n+1}=f(x_n)$ אז גם $\lim_{n\to \infty} x_{n+1} = \lim_{n\to \infty} f(x_n) $ אבל $\lim_{n\to\infty} x_{n+1} = L $ ובאגף ימין אפשר גם להשתמש באריתמטיקה של גבולות כדי להציב $L$ במקומות המתאימים, וכך מגיעים למשוואה. צריך לשים לב שכל זה בא בהנחה שהסדרה $x_n$ מתכנסת, ואת זה יש להוכיח! \begin{example} מהו הגבול של הסדרה $x_1=\sqrt{2},x_2=\sqrt{2+\sqrt{2}},\cdots,x_{n+1}=\sqrt{2+x_n} $ ?

פתרון: נניח שהסדרה מתכנסת, ולכן $\lim_{n\to \infty} x_{n+1}=\lim_{n\to \infty} \sqrt{2+x} $ . מכאן

$$\lim_{n\to \infty} x_{n+1}^2 = \lim_{n\to \infty} 2+x_n $$ נציב $\lim_{n\to \infty} x_n=L $ ואז $$L^2=2+L$$ $$L^2-L-2=(L-2)(L+1)=0 $$ $$L=-1,2 $$ מצאנו שבמקרה שהסדרה מתכנסת, יש רק מועמד אחד שיכול להיות הגבול ( $-1$ נפסל משום שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן לא יכולים להתכנס למספר שלילי). אם נצליח להוכיח שהסדרה מתכנסת, הגבול שלה הוא 2. נוכיח שהיא מונוטונית עולה וחסומה ע"י 2:

מונוטונית עולה - $$ x_n\leq x_{n+1} \Leftrightarrow x_n\leq \sqrt{x_n+2}\Leftrightarrow x_n^2\leq x_n+2\Leftrightarrow -1\leq x_n\leq 2 $$ כלומר הסדרה לא תרד כל עוד האיברים בין $-1$ ל-2. כל איברי הסדרה חיוביים ועכשיו נוכיח שכל איברי הסדרה לא גדולים מ-2 באמצעות אינדוקציה: $$ x_1=\sqrt{2}<2 , x_n\leq 2\Rightarrow x_{n+1}=\sqrt{x_n+2}\leq\sqrt{2+2}=2 $$ אז כל איברי הסדרה קטנים מ-2 ולכן הסדרה מונוטונית עולה וחסומה ומכאן שמתכנסת ל-2. (את הגבול חישבנו באמצעות מעבר הגבול) \end{example}